学生联盟网为您提供优质参考范文! 体会工作报告法律咨询精彩演讲各类材料
当前位置: 学生联盟网 > 高等教育 > 艺术 > 二次函数(,含答案)

二次函数(,含答案)

时间:2021-11-28 13:43:21 来源:学生联盟网

.二次函数一、知识梳理1.二次函数解析式的三种形式一般式fxax2bxca0顶点式fxaxm2na0零点式fxaxx1xx2a02.二次函数的图象和性质解析式fxax2bxca0fxax2bxca0图象定义域,,值域单调性在x上单调递减;在x上单调递增在x上单调递增;在x上单调递减对称性函数的图象关于x对称3.思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打“”或“”1二次函数yax2bxc,xa,b的最值一定是.2二次函数yax2bxc,xR,不可能是偶函数3幂函数的图象都经过点1,1和点0,04当n0时,幂函数yxn是定义域上的增函数5若函数fxk21x22x3在,2上单调递增,则k.6已知fxx24x5,x0,3,则fxmaxf05,fxminf32.二、基础自测1设b0,二次函数yax2bxa21的图象为下列之一,则a的值为A.B.C1 D1答案D解析因为b0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a210,a1,又a0,所以a1,故选D.2 已知函数yx22x3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m1时,yfx在0,m上为减函数 ymaxf03,yminfmm22m32.m1与m1矛盾,舍去当1m2时,yminf1122132,ymaxf03.当m2时,ymaxfmm22m33,m0或m2,与m2矛盾,舍去综上所述,1m2.3.2014江苏已知函数fxx2mx1,若对于任意xm,m1,都有fx0成立,则实数m的取值范围是________答案,0解析作出二次函数fx的草图,对于任意xm,m1,都有fx0,则有即解得m0.三、典型例题题型一二次函数的图象和性质例1已知函数fxx22ax3,x4,61当a2时,求fx的最值;2求实数a的取值范围,使yfx在区间4,6上是单调函数;3当a1时,求f|x|的单调区间解1当a2时,fxx24x3x221,由于x4,6,fx在4,2上单调递减,在2,6上单调递增,fx的最小值是f21,又f435,f615,故fx的最大值是35.2由于函数fx的图象开口向上,对称轴是xa,所以要使fx在4,6上是单调函数,应有a4或a6,即a6或a4.3当a1时,fxx22x3,f|x|x22|x|3,此时定义域为x6,6,且fxf|x|的单调递增区间是0,6,单调递减区间是6,0【思维升华】1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键都是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解变式1 求函数fxx2-2ax-1在0,2上的值域.变式2 1已知函数fx4x2-4axa2-2a2在区间0,2上有最小值3,求a.2已知二次函数fxx2-2x-3,若fx在t,t1上的最小值为gt,求gt的表达式.变式3 1如果函数fxx2a2xbxa,b的图象关于直线x1对称,则函数fx的最小值为________2若函数fx2x2mx1在区间1,上递增,则f1的取值范围是________答案152,3解析1由题意知得 则fxx22x6x1255.2抛物线开口向上,对称轴为x,1,m4.又f11m3,f1,3题型二二次函数的应用例2已知函数fxax2bx1a,bR,xR.1若函数fx的最小值为f10,求fx的解析式,并写出单调区间;2在1的条件下,fxxk在区间3,1上恒成立,试求k的范围解1由题意得f1ab10,a0,且1,a1,b2.fxx22x1,单调减区间为,1,单调增区间为1,2fxxk在区间3,1上恒成立,转化为x2x1k在区间3,1上恒成立设gxx2x1,x3,1,则gx在3,1上递减gxming11.k1,即k的取值范围为,1【思维升华】有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式尤其是恒成立问题是高考命题的热点变式 已知函数fxx22ax2,x5,51当a1时,求函数fx的最大值和最小值;2求实数a的取值范围,使yfx在区间5,5上是单调函数解1当a1时,fxx22x2x121,x5,5,所以当x1时,fx取得最小值1;当x5时,fx取得最大值37.2函数fxxa22a2的图象的对称轴为直线xa,因为yfx在区间5,5上是单调函数,所以a5或a5,即a5或a5.故a的取值范围是,55,分类讨论思想在二次函数最值中的应用例3 已知fxax22x0 x1,求fx的最小值【思维点拨】参数a的值确定fx图象的形状;a0时,函数fx的图象为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴位置解1当a0时,fx2x在0,1上递减,fxminf12.2分2当a0时,fxax22x图象的开口方向向上,且对称轴为x.当1,即a1时,fxax22x图象的对称轴在0,1内,fx在0,上递减,在,1上递增fxminf.6分当1,即0a1时,fxax22x图象的对称轴在0,1的右侧,fx在0,1上递减fxminf1a2.9分3当a0时,fxax22x的图象的开口方向向下,且对称轴x0,在y轴的左侧,fxax22x在0,1上递减fxminf1a2.11分综上所述,fxmin【提示】1本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对系数a的符号进行了讨论,又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论2在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍应对区间进行分类讨论.变式 求fxx22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解fxxa21a2,对称轴为xa.1 当a0时,由图可知,fxminf01,fxmaxf234a2当0a1时,由图可知,fxminfa1a2,fxmaxf234a.3当1a2时,由图可知,fxminfa1a2,fxmaxf014当a2时,由图可知,fxminf234a,fxmaxf01.综上,1当a0时,fxmin1,fxmax34a;2当0a1时,fxmin1a2,fxmax34a;3当1a2时,fxmin1a2,fxmax1;4当a2时,fxmin34a,fxmax1【课堂总结】方法与技巧1二次函数的三种形式1已知三个点的坐标时,宜用一般式2已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关的量时,常使用顶点式3已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求fx更方便2二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律1在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从开口方向;对称轴位置;判别式;端点函数值符号四个方面分析2在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解【失误与防范】1对于函数yax2bxc,要认为它是二次函数,就必须满足a0,当题目条件中未说明a0时,就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.专项训练(A组)1如果函数fxx2ax3在区间,4上单调递减,则实数a满足的条件是Aa8 Ba8Ca4 Da4答案A解析函数图象的对称轴为x,由题意得4,解得a8.2一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象可能是答案C解析若a0,则一次函数yaxb为增函数,二次函数yax2bxc的开口向上,故可排除A;若a0,一次函数yaxb为减函数,二次函数yax2bxc开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a0,b0,从而0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,因此选C.3若函数fxx2axa在区间0,2上的最大值为1,则实数a等于A1 B1C2 D2答案B解析函数fxx2axa的图象为开口向上的抛物线,函数的最大值在区间的端点取得f0a,f243a,或解得a1.4.对于任意实数x,函数fx5ax26xa5恒为正值,则a的取值范围是________答案4,4解析由题意得解得4a4.5.设函数yx22x,x2,a,求函数的最小值ga解函数yx22xx121.对称轴为直线x1,而x1不一定在区间2,a内,应进行讨论当2a1时,函数在2,a上单调递减则当xa时,ymina22a;当a1时,函数在2,1上单调递减,在1,a上单调递增,则当x1时,ymin1.综上,ga6.已知二次函数fx的二次项系数为a,且不等式fx2x的解集为1,3若方程fx6a0有两个相等的根,求fx的单调区间解fx2x0的解集为1,3,设fx2xax1x3,且a0,fxax1x32xax224ax3a.由方程fx6a0得ax224ax9a0.方程有两个相等的根,24a24a9a0,解得a1或a.由于a0,舍去a1.将a代入式得 fxx2xx32,函数fx的单调增区间是,3,单调减区间是3,专项训练(B组)7设二次函数fxax22axc在区间0,1上单调递减,且fmf0,则实数m的取值范围是A,0 B2,C,02,D0,2答案D解析二次函数fxax22axc在区间0,1上单调递减,则a0,fx2ax10,x0,1,所以a0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x1.所以f0f2,则当fmf0时,有0m2.8.对于实数a和b,定义运算“*”a*b设fx2x1*x1,且关于x的方程fxmmR恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则m的取值范围是________答案0,解析由题意得fx2x1*x1即如图所示,关于x的方程fxm恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,即函数fx的图象与直线ym有三个不同的交点,则0m.9.已知函数fxax2bxca0,bR,cR1若函数fx的最小值是f10,且c1,Fx求F2F2的值;2若a1,c0,且|fx|1在区间0,1上恒成立,试求b的取值范围解1由已知c1,abc0,且1,解得a1,b2.fx x12.Fx F2F22122128.2fxx2bx,原命题等价于1x2bx1在0,1上恒成立,即bx且bx在0,1上恒成立又x0,1时,x的最小值为0,x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2,010设函数fxax2bxca,b,cR,若ac,则函数fx的图象不可能是答案D解析由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1x2.因为ac,所以x1x21,比较四个选项,可知选项D的x11,x21,所以D不满足;.