222 226132123133138139143144 145146150151 156157162164167168173174177178180184185189190192193194195198199 202203 205206 210211 216217221227 229230 233234 235236 241242 将2x-4y6 dxxy-3dy0 化为齐次方程。243 求解 dy fxy1dx244说明当px连续时，线性齐次方程的0解唯一。245证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。246常数变易法用变换 yCxexp-px dx与线性齐次方程通解有什么不同248 dy/dx--Tx；y0.dy249求初值问题的解dx yCOSxy0 1250 求解矽2xy4x.dx251 求解方程 y 2y x2 exp2x,y00.252解方程叢 dx x y253设y x,y 2 x是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。254.用变量替换或微分方法将下面方程化为线性21 xdx x 2y1dy2 x1y y -1 y 2x3 yx o ytdt x1255化下列方程为线性方程1y4xyx y2yy2-- x 2-1256 将方程 ydxy-xdy0 给两种解法。x ，257 试证明凡具有通解为 yC x x 式的一阶方程都是线性方程。其中x 为可微函数。常微分方程 2 答案123132133138139143144 145146150151 1562157162163164 167168仃3174177178180181 184185189190192193194195198199 202203 205206 210211 216217221222 226227 229230233234 235236 241242方程变形为dy 2X 4y -，它的分子，分母两条直线交点为1,2 dx x y 2y v 2duuvpl 243 令 zxy1,则邑1dy，于二曰dz是 11fz,dxdxdx只要 fz0,可分离变量得xdzC作变换 X u 1，于是得到dv 2u 4v，它已经是齐次方程。1 fzX244因px连续，yx yexp- pxdx在px连续的区间有意义，而X 0 xexp-px dxx0 0。如果 y0 0，推出 yx0,如果 yx0,故零解yx0唯一。245设有两个解y x,y 2 x,则y1 xpx y 1 x0,y2 xpx y 2 x0,则y1x y 2 x yx y 1 xy 2 x y1 xpxy 1 x y 2 xpx y2x0表明y 1 xy 2 x仍是解。246在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C x 是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数 C x,期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。247用线性齐次方程通解公式得yCexp sinx 249px-cosx 用线性齐方程初值问题解公式即得yexps inx250用线性方程通解公式2 2 2yexp-2xdxc 2xdxdxexp-x C2exp -x2Cexp-x251公式求得方程通解1oI oyxexp2x Cx exp2x exp-2xdxexp2xc _ x 31利用初始条件代入上式y00C,故y x3 exp2x3252x看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为dxxydy以x为未知函数，y是自变量，它是线性方程，则通积分为xexp dy c yexp ydy cexpy-y-11X253 任一解 yx满足yx -y 1 x / y 2 x- y 1 xC,或y 2 x- -y 1 x| y这就是一阶方程通解的结构。254令z x 2 ,则dz2xdx,代入方程得1/2dzz-2y1dy它已经是线性方程。pl..1 令uy2,则 一2yy，代回原方程得dxx1 1/2u -1u,变形为 虫- 2dx x 1这已经是线性方程。2 它不是微分方程，但对它求导后得艷yx1,dx这已经是线性方程。dy2-2xyexpx cosxdx此为线性方程，从而通解为2 2 .yexp 2xdxC expx cosxexp-2xdxdxexpxCsinx矽y x x,x是已知可微函数dx此方程为线性方程，从而通解为dyexp--dxCx xexp xdxdxdxexp-xCexpxx-1Cexp-xx-1255此为贝努利方程。令z .y得 -z-,它是线性方程。dx x 21此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y-x作变换yz-x，得贝努利方程z 2zz 2 ,再将方程ydxy-xdy0 给两种解法。试证明凡具有通解为yC x x式的一阶方程都是线性方程。其中x，x为可微函数。