用数学的教学思维教语文
康成小学 孙贻亮
一、问题提出
开展语文主题学习，加大学生阅读量，需要重视学生的“自主阅读，自主感悟”。潍坊北海学校韩兴娥推行的“海量阅读”更离不开这一点。可是我在平常的教学实践中却发现，当我遵循这种方法运作的时候，课堂的情况往往是这样：只有少数的尖子学生能够按照老师设计的大框架式的问题进行感悟，进而与同等水平的同样少数的同学和老师进行交流读书所得和读书中产生的思考。课堂成了我和少数学生的课堂，大多数的学生只能当听众，甚至更差的学生只能旁观，久而久之，他们也就游离于语文课堂之外。他们日复一日的听的只是一篇又一篇我对课文的讲解，甚至只是完成课后的抄抄写写，当他们自己面对文本的时候，根本就无从下手（这从大部分学生对课外阅读的完成情况并不理想即可窥见一斑）；当他们需要表达的时候，也无所适从（这只要读读学生那些表达的吃力而又生涩的习作就可以看出）。这是为什么呢？
二、解决问题的方式方法
有一次在网上浏览的时候，一个很新颖的提法突然迸现在我的眼前——用数学的思维学语文。接连看了几篇文章后，大受启发。我又想，为什么我不能“用数学的教学思维教语文”呢？
于是，我用了一个学期的时间抽空就跟着数学老师去听课。我惊讶地发现，在数学课上大部分学生都是有事可做的——即使那些数学成绩很不出众的孩子，他们看、思、算、评、订正，在数学老师的指挥下忙得不亦乐乎。他们每堂课也应当是学有所获的，一学期下来基本能叙述出来自己学会了哪些数学知识和技能。而语文上呢，如果问学生你这个学期学了什么，除了课文篇目之外，大部分学生恐怕很难答得上来。这是为什么呢？
与数学老师探讨后，我发现：数学老师对于自己每个阶段该教学生哪些知识，该训练哪些能力，每个知识点怎么教，具体到每节课，甚至落实到每个知识点，每个步骤，都了然于胸，并且会进行阶段性的或分类性的训练，然后再综合。学生在每堂课上该做什么，每种类型的问题该如何解决，甚至每步该如何操作都心中有数，自然也就有事可做，能积极参与，日积月累，自然而然也就形成了能力，能独立解决问题。
我就想，我能否也能用数学的这种教学思维教语文：先分类训练教给学生具体的可操作的方法，阶段性训练，循序渐进逐步提高，在放手让学生感悟，自主表达？我先拿出几篇文章进行试验，把每一篇课文都分成三步学习，每一步干什么目标很明确：
第一步，字词过关（１节课）。字词从认到写再到组词、造句，学会运用。认字、写字，是语文学习最基本的东西，每个学生都能很轻松的达到目标，这一节课就要把这一课要求学会的生字词扎扎实实的记牢。
第二步，朗读过关（１节课）。大道至简，简简单单教语文。我记得于永正老师的一句话：“在教学中，应该自始至终贯穿一个‘读’字，特别是朗读。这个要严格要求，训练到位。一个人能把课文读正确、流利、有感情，字词句的训练有了，语感训练有了，遣词造句、谋篇布局的能力有了，‘人文性’也就在其中。”一节课，反复训练朗读，基本遵循了这么个套路：自己先读一遍，标记问题；听一遍范读，纠正读音问题；我给小组的同学读一遍，大家伙给我找问题；根据自己的理解，演文章。这样四遍大部分学生都能够把文章读熟练，并理解文章大意了。
第三步，拓展（１节课）。第一是从课文内容中选一些关键语句让学生填空，让学生知道这样写的好处，巩固一下课内知识；第二是进行拓展阅读，有的是《行知天下》上的文章，有的是《主题阅读丛书》上的，还有的是我从网络上选的文章用多媒体呈现出来。“好读书，不求甚解”，课外阅读不要
求学生理解什么，记住什么，就是读书而已。
做这项工作的时候，我牢牢记住于永正老师的的一句话：语文教学提倡“少做题，多读书”。读书是最重要的，要激发兴趣，培养习惯。有的东西要反复训练，比如写字、朗读、作文。这都是一种技能或者一种能力，凡技能和能力都必须训练才能形成。
三、取得的效果
这样做了一段时间以后我发现：
１、教学目标简单了。“简单语文”首先是目标简约。每一节课干什么，我就一个目标，就做一件事。摒弃了原来的许多花里胡哨的东西，这样每一个目标都能充分地去做好。
２、教法简洁了。写字过关，朗读过关，阅读拓展，同一样事反复做。张庆先生说：“语文教学要倡简，就是读读写写，写写读读。”这些都过关了，课外作业也就容易了，每天一篇日记，极好的锻炼了学生应用知识的能力。
３、学生的变化。课堂上大多数学生不再觉得无所事事，游离于课堂之外，而是觉得有忙不完的事情要去做。字词掌握扎实，朗读拓展了视野，开始觉得写日记很难，很难，可是越写越顺利。作文，对学生不再是一件多么难的事情了。
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作文二：《论数学直觉思维的作用》5000字论数学直觉思维的培养
摘 要
思维是通过一系列比较复杂的操作来实现的，人们在头脑中，运用存储的长时记忆 中的知识经验，对外界输入的信息进行分析、综合、比较、抽象和概括的过程。对任何学科的学习都离不开思维能力。而数学直觉思维对数学的学习尤为重要，它是数学活动中一种认知过程和思维方式的直觉。它具有非逻辑性、快速性、跳跃性、简约性、偶然性、创造性、自信力等特点。对培养学生的思维能力、观察力、大胆猜测的能力，打下扎实的数学基础，提高对数学的感知能力大有裨益。但人们一向过多地强调对逻辑思维的能力，教师过多地注重一板一眼地教学，这都不利于学生思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是对人才培养的需求。可以利用数学的哲学观点及审美观、重视数学解题及解题后的反思、联想与想象来培养学生数学直觉思维。 关键词： 数学直觉思维；性质；培养
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｉｓ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｌｅｘ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｐｅｏｐｌｅ ｉｎ ｍｉｎｄ， ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｍｅｍｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｓｔｏｒａｇｅ ｔｉｍｅ， ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ， ｐａｒｉｓｏｎ， ａｂｓｔｒａｃｔ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ａｎｙ ｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅ ｓｔｕｄｙ ｃａｎｎｏｔ ｄｏ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ． Ｗｈｉｌｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ｉｔ ｉｓ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｃｔｉｖｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ． Ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｎｏｎ － ｌｏｇｉｃ， ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ， ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｃｙ， ｃｒｅａｔｉｖｅ， ｓｅｌｆ－ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ． Ｔｏ ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ， ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ａｂｉｌｉｔｙ， ｂｏｌｄ ｇｕｅｓｓ ａｂｉｌｉｔｙ， ｔｏ ｌａｙ ａ ｓｏｌｉｄ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ｂｅ ｏｆ ｇｒｅａｔ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｃｅｐｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｂｕｔ ｐｅｏｐｌｅ ｈａｖｅ ａｌｗａｙｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｍｐｈａｓｉｚｅ ｔｈｅ ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｌｏｇｉｃａｌ ｔｈｉｎｋｉｎｇ， ｔｅａｃｈｅｒｓ ｔｅｎｄ ｔｏ ｆｏｃｕｓ ｏｎ ｅｖｅｒｙ ｒｈｙｔｈｍ ｔｅａｃｈｉｎｇ， ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｎｄｕｃｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ． Ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｆｏｒ ｔａｌｅｎｔｓ． Ｃａｎ ｕｓｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ ａｎｄ ａｅｓｔｈｅｔｉｃｓ， ｆｏｃｕｓ ｏｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌｖｉｎｇ ａｎｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌｖｉｎｇ， ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｍａｇｉｎａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ ｔｈｉｎｋｉｎｇ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｔｒａｉｎ
引言
２０世纪以来，人们开始把“直觉”概念从哲学、艺术中抽取出来，放在人的一
般人是思维活动乃至各种创造活动中加以讨论，把直觉思维看做是从事实到理论，从旧理论到新理论的跃迁或突变的一种思维方式，并给予很高的评价。
数学新课标里提到“注重提高学生的数学思维能力”。课件课程标准把数学的数学思维放在了极其重要的地位。并且将一贯的数学能力提法“逻辑思维能力”改成了“思维能力”。这一叙述上的改变虽然只是去掉两个字，但广大和丰富了思维能力的内涵。在数学思维中，直觉思维对数学创造性思维的培养有着特殊的意义。数学直觉思维能力的培养是目前数学教学中经常被忽视而又非常重要的实践内容，长期以来，在数学教学中，只重视分析、综合的逻辑思维训练，而忽视对直觉思维的诱发和培养，知识学生的“智慧视力”和创造心理品质得不到很好的发展，嘘声思考问题按部就班，循规蹈矩；缺乏敏锐的观察，丰富的想象，大胆的猜想；缺乏快速思考能力，直接判断的能力。因此，在数学教学中加强逻辑思维训练的同时，也应十分重视对学生直觉思维的诱发和培养，进一步探讨数学直觉思维内涵及其培养方法，有着重要的实践和理论价值。
一、数学直觉思维的概述
（一）直觉思维
直觉一词实际上有许多用法，在各种论著中说法不一。根据林智贤、林崇德等心理学教授的论述：“直觉思维是思维的一种方式”，“是人脑对于突然出现在面前的新事物、新现象、新问题、新关系的一种
迅速的识别、敏锐而深入的洞察、直接的本质的理解和综合的整体判断，换句话说，直觉思维就是直接领悟的思维或认知。”这种思维不经过严密的逻辑分析步骤，名优明显的过程意识，进行的形式是跳跃式的。
直觉是一种普遍的心理现象，是人类的一种基本的思维方式。直觉思维不仅在科学创造活动中明显地表现出来，而且在日常生活中也处处可见，贯穿于人类生活的各个方面，延伸于创造活动的所有领域，它为任何一个成长的个体所具有的，而非少数天才人物所占有。直觉思维的这一普遍的特点，使得培养广大学生的直觉思维提供了理论基础。
（二）数学直觉思维
数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，所追求的是对数学对象及其研究过程的本质的整体的把握，是一种数学的洞察力。数学直觉思维过程是人们以已有的知识经验为根据，对所研究的问题提出猜测和假设的过程。这种数学直觉与直
观、质感有区别。数学直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。直觉思维和逻辑思维是两种互补又不同的思维形式，两者辩证运动推动者数学思维过程不
断发展，而直觉思维以直觉为基础，以想象为出发点，非逻辑推理为方法，因而更富有创造性，它代表了创造思维的本质特征。
二、数学直觉思维的特征 与逻辑思维相比，数学直觉思维有以
下特征：
（一）思维形式的非逻辑性
从表面上看，直觉思维的进行没有依据某种明确的逻辑规则，结论的得来也没有经过严密的推理论证，带有一定的猜测性、预见性，它既不同于一般的三段论的演绎推理，也不同于常见的归纳推理或类比推理，因而具有非逻辑性。庞卡莱曾说：“搞算术，就如搞集合，或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西。为了表述这个某个东西，我们没有更好的字眼，只能用‘直觉’一词”。就是说直觉是“从事科学发现所需要的与纯逻辑不同的东西。”
（二）思维产生的快速性
数学直觉思维产生的过程十分短暂，即突如其来，稍纵即逝。头脑中各种思维元素的跳动、组合以求在极短的时间内实现认识过程的突变和质的飞跃。
（三）思维过程的跳跃性
直觉思维是对思维对象从整体上考察，在这个思维过程中，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式，它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟。
（四）思维原则的整体性
思维的主体通常表现为对事物或问题整体洞察、全局上的把握，暂时舍弃局部的、细节的和非本质的部分，整体的确定性及细节上的模糊性为数学直觉思维的一
个特征。
（五）思维结果的超前性、独特性和似真性
数学直觉思维的结果形成猜想，才想出现于证明之前，这就体现了直觉思维的超前性；直觉思维结果具有随机性，产生独特的发现和见解，这是其独特性；直觉思维的结果大多是由特殊到一般或由特殊到特殊的推理方式得出的，其真伪有待于用逻辑思维的手段加以证实，因而具有似真性。
三、数学直觉思维的培养和提高
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维嫩里的高低。徐孝治教授指出：“数学直觉是可以后天撇杨的，压力下，或者是主体思维愤悱状态的暂时“缓冲”，进而，使思维出现了突发性的脉动，直觉出现了，随之，思如泉涌。
实际上每个人的数学直觉思维也是不断提高的。”数学直觉是可以通过训练来得到培养和提高的。
（一）扎实的基础是产生直觉的源泉
一定直觉的生成必须要有相关知识的积累。这里所说的“相关知识”既包括有关的经验知识，又包括有关的专业理论知识。“知识的积累”，是指经过人们的反复实践而积淀并存贮于大脑皮层上，生成为深层的下意识并形成相应的经验认知模块或有关学科专业认知模块。所谓“认知模块”，是指一定的认知运作程序、经验知识或学科知识组合方式。人们常说，“三句话不离本行”，正说明一定的认知模块在人们日常思维和相互交流中的作用。其次，直觉的生成有其内在的机制。这里所说的“内在的机制”，是指主体在问题的激发下，思维处于兴奋状态，进而对这一问题进行多方面、多层次、甚至是长时间的思索或考察；然而却百思不得其解，于是便处于极度的困惑状态。再者，直觉的生成须有一种特定的情境：主体或者处于特定的场景之中，或者观察到特定的现象，或者在突发性的
（二）提高观察力
常言道：“善观察者，可以见常人
所未见者；不善观察者，入宝山而空回。”培养学生直觉谁为的一个有效方法是让学生主动去观察，观察室诱发直觉思维的一个重要形式。观察室，培养学生学会独立干茶，养成观察的习惯。这样，被观察对象的结构开始时简单的、鲜明的，然后渐渐地使被观察事物由简单到复杂过渡，在观察中领悟事物变化的规律和因果关系。从而促进直觉思维的发展，并有利于发散思维的培养。
（三）利用联想来培养直觉思维
联想不是凭空产生的，直觉也不是考“机遇”而来的。直觉的获得虽然具有偶然性，但不是无缘由地凭空臆想。直觉思维必须以人的知识经验为基础，在此基础上形成有序的、网络化的知识体系，是解题中能提取相关信息、有效地灵活地解决问题的关键。在解决问题过程中只有对数学知识体系有着清晰的记忆，才能有条件联想到基本该鸟、基本原理、基本方法及其相互联系构成的理论框架，使问题得到迅速解决。教育家布鲁纳 曾说：“结构的
理论能使学生从中提高他们直觉处理问题的效果。”
就是说数学家的美感起着精巧的筛子作用，除了少数几个和谐的和美丽的组合外，它筛掉了所有其它组合。”所以提高审美能力有助于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力就越强。
（四） 通过重视数学解题来培养直觉思维
数学中选择适当地题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选择中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。事实开放性问题数学，也是培养直觉思维的有效方法，开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
（五）渗透数学的哲学观点及审美观念
数学美集中表现为数学本身的简单性、对称性、和谐型、奇异性等。数学直觉思维与数学审美意识的关系即如法国数学家庞加莱所言：“数学法发现的实质是一种选择。数学的发现就是要在数学事物的无穷尽的组合，选择出游泳的组合，抛弃无用的组合，从而取得游泳的新成果。而选择能力的基础是所谓的‘数学直觉’，而数学直觉本质上就是‘美的意识’或美感。
结语
在数学学习和研究中，直觉思维和逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。伊思斯图尔特曾说：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”直觉思维与逻辑思维的完美结合创造出思维的火花。
参考文献
［１］ 朱智贤，林崇德． 思维发展心理学［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，１９８６． ［２］ 郑毓信． 数学思维与数学方法论［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．
作文三：《写作数学中的创新思维》5000字写作教学中的创新思维
——创新作文教学之我见
学生姓名： 指导老师：
［摘 要］ 创新写作教学，要站在教育发展的角度，用发展的眼光审视新作文的写法，用结合学生实情，把生活材料变为课堂创新作文教学资源，写自己缘于生活真实的新体验，引导学生学入生活研究生活，多读书，掌握信息时代创新作文教学的“新”的理念，领悟“兴趣是最好的老师”的道理，培养学习的好奇心和进取心，敢于向新的人生课题挑战，写出创新的文章来。
［关键词］ 作文教学 自我意识 写作兴趣
审视现行语文教学，作文教学始终占据着举足轻重的地位。这不但是因为学生习作可以反映学生对所学基本知识和基本技能的掌握情况，而且可以全面反映学生在语文学习中身心（如性格、品质、意志、价值观等）的发展情况。随着素质教育的全面推进，新课程的全面实施，后者显得尤为重要。然而若干年来我们大多数教师都因为灵感尽失，创造力和想象力严重受到了限制，用掉了牙的教学方法进行作文方面的教学，总是教学生如何立意，如何开头，如何过度，又如何结尾等等，讲得有板有限，让学生拿腔拿调一层不变地作文，千人一面，众口一词，这样如法炮制地进行作文教法和学法的演练。结果学生灵感尽失，创造力和想象力严重受到了限制，学生个性受到了压抑。加上学生时间所限，读书少，对生活体验不够，涉事不深，领悟不透，缺乏对生活的真实感受和理论上的升华，写出的作文自然就少了真情实感，少了灵气活力，这样一来，很大程度上影响了语文教学效果，甚至影响了学生在语文学习中的身心发展。直接反映出来表现为学生惧怕写作，写作能力低下，习作质量差。究其原因，主要是教师在作文教学中忽略了学生的立体地位，没有找到能够激活学生写作的创造力和想象力的有效方法。那么，我们怎样才能激活学生生机勃勃的创造力和想象力呢？我觉得有以下几种策略可供借鉴：
一 作文教学重视学生个性健康发展，激励学生在作文中体现自我意识 反思现行教育，往往以统一的标准培养学生，强调教育的统一要求，而很少顾及到把学生培养成富有个性的自由发展的主体。其教育方式是削足适履式的，其检测手段是考试，衡量的标准是分数，郑渊洁曾说：“当今的作文教学挺摧残孩子们①。”他的话实际指出了现在的作文教学，其根本局限性在于消磨了学生的
个性特点，独立品格及锐芒与锐气，可以说是一种典型的非个性化教育。这样的教育，使学生处于消极被动的“输入”状态，学生感受不到亲自发现知识，掌握知识和运用知识的乐趣，从而使学生出现了学习情绪淡漠，依赖性强，进取心差，创造力低下的个性弱点。正因如此，素质教育提出了在教育中重视个性发展的要求，并以大量文字进行了阐述。
作文教学作为整个教学活动中的一项重要工作，也不可避免的存在着抹杀学
生个性的现象。大家知道，在以往的作文教学中比较注重模仿（模仿学生优秀习作、模仿课文、模仿老师下水作文）。模仿固然也可以让学生写出一些较好的作品（往往是班上的学习拔尖的学生），然而有多少中小学生能在模仿的基础上有所创造呢？因此，必须认真反思这种作文训练方法。
大家想想，如果一味模仿，其结果和代价是什么？如果太注重模仿，学生在
写作时便会照猫画虎，学生便会离开“自我意识”，脱离“自我生活”、“我的情感”、“我的意志和品质”等。这样一来，学生在写作时聪明才智便不能发挥；学生的想象力、创造力便得不到锻炼。久而久之，学生就会在写作时失去主体性，失去了主体性，学生就会失去写作的能动性和创造性，学生就只能长期处于被动地受支配的地位。学生的写作活动就会变成一件枯燥的、无聊的疲于应付的苦差事，学生的习作便成了一篇篇信手拈来的“仿真品”。试问，对于这样的活动，谁还会有兴趣？谁还会尽力去做呢？
［案例一］某校一位教师给初一的学生布置了一篇题为《我最敬佩的一个人》
的作文。其教学步骤是这样的：命题在这一阶段工作结束后，这位教师便读了一篇事先准备好的歌颂教师的习作。在这篇习作里小作者大力夸赞了教师的“黄牛精神”，“蜡烛精神”。理所当然，老师是小作者最为敬佩的人了。读完后，学生便动手写作。其结果怎么样呢？只有极少的学生写出了具有真情实感的文章。绝大数同学还是在围绕着范文转，经统计有７５％的学生写了赞美老师的文章，而在这７５％的学生中，有一半的学生赞美了自
己的语文老师，认为语文老师平易近人，课讲的好，是自己最敬佩的人。 在案例一中可以发现 ，在这样的教学活动中，学生的自我意识，自我情感得不到体现，学生失去了独立思考的能力，行动的能力和兴趣，同时他们的个性也得不到发展，因此，要想使学生有写作的兴趣，就必须重视学生的情感、品质、价值观等，必须激励学生在写作中充分体现自我、表现自我，反映自己 眼中的人和事。
那么，在作文教学中，怎样才能促进学生个性发展，体现学生自我意识呢？我觉得有以下几个方面可供借鉴：
（一）帮助学生消除写作时的心理障碍，鼓励学生大胆地在作文中表现自己生活，反映自己眼中的世界。
通过长期的作文教学实践发现，学生在写作文时，心理总有这样或那样的障碍，其主要现现以下几个方面：
①读得课外书籍太少（有近８０％以上的学生读不到自己喜欢的课外书籍）自己知识浅薄。②没有遇到或见到太多的事，写作时觉得自己无事可写。③怕写不好，怕老师批评。
在以上种种自牢心理作用下，学生视写作为苦差，写作兴趣和激情也就无从谈起，创造力和想象力就无法发挥。因此，教师必须想办法帮助学生克服心理障碍。要克服和消除这种障碍，教师就得从思想上去做工作，让学生明白：作文就是写在纸上的生活，就是写在纸上的人和事，就是写在纸上的自己的喜怒衰乐，悲欢离合，就写在纸上的自己的一切想法等。窝驼学校生大多数生活在农村，好多家庭的家长由于经济的原因，不能给自己的子女购买书籍，但是，教师必须让学生明白，读得课外书少，并不是影响写作的最主要原因，主要是学生对自己的生活并不留意，对自己身边的人和事熟视无睹，对自己眼中多姿多彩，变化无穷的农村景色不去观察，不去发现。因此，他们在写作时才会有以上所述的障碍。明白了以上道理，学生内心世界便会产生这样一种观念：写作文，就是写自己的生活，写自己的真实感受和想法。这样一来，学生写作时的心理障碍便会渐渐消除。
（二）根据学生需求命题，命题有弹性，有张力，为学生充分发挥创造力和想象力开辟广阔的空间。
回想以往的作文命题，都显得太主观，作文命题时要么是老师想法，要么是课本、大纲的要求，教师却忽略了一个最主要的问题——学习者主体的需求与兴趣，忽略了学生的需求与兴趣命题，所命题目便会与学生已有经验、写作实际能力不符，从而使学生写作时难度增加，甚至写作时无从下手。因此，这种命题方式必须改变。
要想充分展示学生的自我，激发学生的写作热情，必需依据学生需求和兴趣去命题。命题不只的技术，更是艺术②。教师应多征求学生的意见，命一些学生喜作、要作、能作、易作的题目，切勿在命题上刁难学生。
（三）要从研究学生差异入手，做到因材施教
在进行作文教学时，教师必须摒弃那种以统一规格去制造“标准件”的教育模式，从研究学生差异入手，全面掌握不同学生的兴趣、爱好、特长及能力，做到因材施教，有意识、有针对性地加以培养和训练，使不同学生按照不同的途径和方式，达到各自所应达到的发展水平。
二 让学生感受到写作的成就感，让学生感受写作的快乐。
成就感是促人奋进的动力，只有让学生感受到写作的成就，学生才会进行自我肯定，才会点燃学生写作的热情，才会激发学生写作的欲望。要做到这点，必须注意以下几点：
（一）认可学生写作能力的差异
以往，在作文教学中存在着这样一种现象：教师总把关注的目光放在作文写得好的学生身上，对这些学生的习作大加赞扬，并鼓励其他同学效仿，然而对写作能力较低，作文质量较差的学生却冷眼相看，甚至批评讽刺，常用“你看某某写得作文多好，而你呢？”等话语教育写作水平较低的学生。其实，这些老师的出发点是善意的，想通过这种类似激将的方法激起学生的写作热情。然而，只要经过认真反思与观察，这种作法只会给写作能力低的学生带事自卑，带来失望，带来失败感，带来对写作的恐惧心理，这样，不但伤害了学生的自尊和感情，而且抹杀了学生写作的热情和兴趣。因此，这是极其不科学、不符合教育规律的作法。学生写作能力有高有低，这是不可辩驳的事实，我们教师必须看到这一点，必须在心里接受这种现实。因为只有看到并认同学生写作水平的差异，才能对学生写作状况做出客观、正确、有效的评价，才能采用不同的教学方法，对学生写作进行指导，以此来激发学生的写作激情，提高学生写作能力。
（二）更新作文批阅观念，采用多样化的批阅手段，达到激励，促进的目的。
在谈到这个问题的时候，必须首先明确一个概念——“作文批阅目的”。作文的批阅直接影响着作文教学的效果，那么我们为什么要批阅作文呢？看似一个极其简单的问题，却直接反映着我们教师的教学观，育人观等观念问题，不能等闲视之。有人说批阅作文是教学的要求；也有人说是学校的规定，是作文教学不可缺少的一个环节；也有人说是为了给学生习作分等级„„。不论他人怎么看待，我觉得；批阅学生习作的目的，是为了更好地促进学生发展，激发学生的写作兴趣，提高学生写作能力。
① 慎用“不”字，多用鼓励性评语
鼓励性评语，可以点燃学生创作的冲劲，可以让学生（尤其是写作能力较低的学生）感受到老师对自己的关注与关怀。因此，教师在给学生批阅作文时，不但要看到学生习作中存在的问题，更应发现学生习作中的优点、闪光点，表述出来，让学生看到自己的进步。除此之外，还可以写鼓励性的话，诸如“你进步了、“努力”、“老师期望看到你更优秀的习作”等，以此来鼓励学生，激发学生写作热情。
②少下断语，多些探讨
毫无疑问，教师的评语只能代表一家之言。同一篇作文，不同的老师可以给出不同的甚至截然相反的评价。因此，教师总是根据自己的评价标准去评判学生作文并要求学生完全接受自己的观点是不科学的，除非存在很明显的问题，教师一般不应轻易下断语，而应多站在平等的立场上进行探讨。例如，与其在评语中写道“内容不够充实”，倒不如说“在我看来，如果你能将更为典型。更为具体的材料充实到你的文章中去，效果可能会更好。你认为呢？”这样的探讨性的评语使学生感到自己以及自己的劳动成果被尊重，通常他也会充分重视教师给他的批语。
［案例二］窝驼学校初二级某某语文教师在给学生批阅作文时发现，初二级二班某某学生，语文功底扎实，但作文写的一塌糊涂。这位教师通过与他的交谈发现，这位学生在小学时作文的分数就不高，从而丧失了写作的自信心和兴趣。因此，在批阅这位同学的作文时，这位教师便会有意的给他的作文高分，并且在写评语时，经常会写上“你进步了”、“努力”、“老师希望读到你更优秀的习作”等评语。后来，这位学生的写作态度、习作质量较以前均有了不同程度的改变。从此案例可以看出，鼓励性评语和高分，能够很好的调动学生的积极性，激发学生的写作兴趣。
③不求全面，突出重点
有的教师在评语中力求面面俱到，生怕遗漏了某一方面而使学生遭受损失。所以他们的评语从审题立意篇章结构到遣词造句标点符号再到行文格式字数要求，可谓详尽具体，苦口婆心。然而作文训练不可能“毕其功于一役”，作文课也不止这一节，那么为什么不可以考虑“各个击破”呢？把太多的信息一股脑灌输给学生，学生理解和应用都成问题，即所谓“贪多嚼不烂”。我们的做法是评语只针对主要方面，其它内容则通过旁批或直接修改来反映。这样，主次分明，
重点突出，学生努力有方向，效果易检测，同时也使教师批改作文的效率大为提高。
总之，创新写作教学，要站在教育发展的角度，用发展的眼光审视新作文的写法，用结合学生实情，把生活材料变为课堂创新作文教学资源，写自己缘于生活真实的新体验，引志学生深入生活研究生活，多读书，掌握信息时代创新作文教学的“新”的理念，领悟“兴趣是最好的老师”的道理，培养学习的好奇心和进取收，敢于向新的人生课题挑战，写出创新的文章来。
［注 释］
① 郑渊洁，我国著名童话家，代表作有《皮皮鲁的故事》
②《浅谈中学作文教学》内蒙古自治区扎兰屯市库提河中学，刘军著
［参考文献］
１、《创新思维开发》主编孙多金 兰州大学出版社２００５年１月版
２、《走进新课程》主编朱慕菊 北京大学出版社２００３年１月版
３、《语文课程标准解读》主编李连宁 湖北教育出版社２００５年６月版
作文四：《数学思维学英文8》400字第七章讲到ｂｅ＋形容词＋不定式的句型的用法。
此节课用数学的＋＋＋＝＋（正＋正＝正），－＋＋＝－（负＋正＝负），－＋－＝＋（负＋负＝正） 理论讲一下ｔｏｏ（正）．．．ｔｏ（负）．．．（太．．．而不能．．．）的句型用法。下面用“＋”表示正，“－ ”表示负。
例题１：Ｉ ａｍ ｔｏｏ ｏｌｄ ｔｏ ｗａｌｋ ｂｙ ｍｙｓｅｌｆ．
分析： ｔｏｏ（＋）表肯定意思， ｔｏ（－）表示否定意思。
翻译：我太老了，而不能单独行走。
例题２：Ｉ ａｍ ｎｏｔ（－）ｔｏｏ（＋） ｏｌｄ ｔｏ（－） ｗａｌｋ ｂｙ ｍｙｓｅｌｆ．
分析：ｎｏｔ（－）＋ｔｏｏ（＋）＝ － 表否定意思，ｔｏ（－） 还是表示否定意思。
翻译：我不至于太老而不能单独行走。
例题３：Ｉ ａｍ ｔｏｏ（＋） ｏｌｄ ｎｏｔ（－） ｔｏ（－） ｗａｌｋ ｂｙ ｍｙｓｅｌｆ．
分析： ｔｏｏ（＋）表肯定意思，ｎｏｔ（－）＋ ｔｏ（－）＝＋ 还是肯定意思。
翻译：我太老了，不至于不能单独行走。
结论：在英语中我们经常会遇到否定和否定，肯定和肯定或者肯定和否定连用的句子，当遇到的时候，请用上面的数学公式来去翻译它们的意思。
作文五：《小学数学论文数学与思维的关系》3200字浅谈数学思维与兴趣培养的关系
祁县示范小学 崔屹
兴趣是最好的老师，我们每个人从事各种活动，都是由一定的动机、兴趣所引起的，有了动机、兴趣才能去从事各种活动，从而达到一定的目的。学习兴趣是学生学习的强化剂，在学生的认识过程与学习活动中起着巨大的推动和内驱作用。学生只有感兴趣，他们才会积极地投入思考，从而发展学生的思维能力。但反过来说，学生只有积极地思考，才会破解一个个难题，从而体会到成功的喜悦，提高学习的兴趣。所以说在数学教学中， 有目的、有计划、有步骤地培养学生的思维与兴趣， 有着不可替代的作用， 兴趣与思维是相辅相成的， 不应该分开来谈。这样有助于学生发现事物的新要素， 并进行探索创造。只有对学生产生了兴趣， 对学习的反映思路也才最清晰。
一、用数学本身的内在力量唤起学习兴趣，启发学生思维的积极性。
布鲁纳说过：“最好的学习动机莫过于学生对所学材料本身具有内在的兴趣。”数学知识严密的逻辑性和系统性，各种数学材料之间的有机联系，解决数学问题时思路的开阔和敏捷，数学思维的各种特殊而巧妙的形式„„构成了数学这门学科的潜在的吸引力。所以在数学教学中，要努力把数学这种内在力量显示出来，使学生看到一个“快乐的数学王国”，使学生潜移默化的对数学产生深刻的兴趣。如在教学“２０以内个数的认识”时，我出了这样一道题：同学们排队做操，小华的前面有５个同学，后面有８个同学，这一队一共有多少同学？让学生解答，结果学生们不假思索的告诉我：５＋８＝１３（个）。看着学生们一个个神气的神态，我并没有急于表态，而是讲了一个故事：兔妈妈带小兔们到草地上去做游戏。天黑了，兔妈妈让小兔们把队伍整理好准备回家。她认认真真的数了数，大吃一惊：“不好，丢了一只小兔”。她又仔仔细细数了一次，小兔却一只都没少。为什么１４只兔子变成了１３只呢？这时学生们顿有所悟，边笑边喊：“兔妈妈把自己都忘了数了。”也正是此时，学生们马上意识到刚才那道题存在的错误。纷纷表示怎么把小华给忘了。如此妙趣横生的数学内容，当然深深的吸引了学生。此外，还可以组织一题多变，一题多解，一题多问，一题多算，一题多编等活动，增加学生的兴趣和对思维的积极性。使学生在掌握教师的方法下， 通过发散性思维， 使他们明白学习方法的重要性， 从而产生爱动脑筋、思考问题的习惯。
二、用“引活”知识唤起学生的学习兴趣，培养学生数学思维能力。
当前无论是国内还是国外学者都认为数学思维能力的主要成份是掌握数学的思考方法。因此，我们首先要改变对数学教学的传统看法，树立新的教学观点：（１）数学教学主要是数学活动（即思维方法）的教学，而不单单是数学知识的教学。（２）数学教学现代化是指数学教学中充分运用多媒体教学手段进行教学，用现代教育理论改革数学教育。（３）数学教师的任务不单纯是教数学知识，而且要教学生怎样学。总之，课堂教学以“引活”为手段，体现学生学习主动性和学生主体的地位，增加学生实际活动，重视学习方法的指导，培养学生创新意识和数学思维能力。因此，小学数学课堂教学要突出下面几个方面：
１、以“引活”为手段，培养学生的一般思维。
以学生为主体的核心是以学生的“思维”为主体。这就要求我们教师要重视知识的形成过程，很好地把这个过程展现出来。让学生在我们展开的过程中去交流、探索和解决，让学生在学习新知识的过程中体验、感悟和内化的过程，就是培养学生创新精神和实践能力的过程。例如：教学“带分数乘除法”时，先出示一组算式，学生练完后说出计算法则，再出示例题，引导学生观察并讨论（１）与过去学的分数乘法有什么不同？（２）能否化成形式计算？这样老师只在疑点上提出疑问，学生经过议论、思考，就能正确地掌握计算方法。又如教学例题时，让学生小组讨论：能化成的分数乘法计算吗？学生通过议论总结出带分数除法的计算方法。通过这样的质疑、点拨，激发了学生求知的欲望，启迪了学生的思维。
２、以“引活”为手段，培养学生的求异思维。
求异思维是从不同的角度，不同的思路去解决问题。它不拘泥于常规，追求事物新颖的设想，在解决问题的过程中要大力提倡学生发表与众不同的见解，别出心裁，勇于标新立异，寻找与众不同的途径和方法。例如教学“２０以内的退位减法”，除用“做减法想加法”外，还允许鼓励学生用“破十法”或“凑十法”求差。如：１２－５＝？算法１、因为７＋５＝１２所以１２－５＝７．算法２、１２－５＝２＋（１０－５）＝７．这样教学，既使学生掌握了新知识，又发展了求异思维的能力。
３、以“引活”为手段，培养学生的逆向思维。
正向思维是人们最常用的思维方式，这种思维方式对解决一些
问题起到了一定的作用。这种习惯的思维方式往往只会侧重问题的一方面而忽视另一方面。在教学中，不妨引导学生向相反的方向去思考，进行逆向思维，以求得问题的解决。例如：在竞试题里有这样一道题：“有１６人参加象棋冠军争夺赛，采用负一场就退出比赛的单淘汰制。为了决出冠军１人，共要比赛多少场？”此题多数学生都按一般的思路解答：因为两人比赛一场，每场淘汰１人，所以第一轮应比１６÷２＝８（场），第二轮应比８÷２＝４（场）„„最后冠军决赛场，所以共应比赛８＋４＋２＋１＝１５（场）。老师给予肯定后，要决出冠军，就必须淘１人，这就需要比赛多少场呢？如何解答呢？于是学生纷纷列出算式：１６－１＝１５（场）。此法不仅简单，而且构思巧妙，思维独特，这便是创新思维。
三、在练习中生趣，发展学生的发散思维能力。
练习是巩固所学知识，形成技能技巧的必要途径，是教学的一个重要环境。但也往往被呆板的练习形式、乏味的练习内容，把在学习新知识中激发出来的学习兴趣，而无情淹没，使学生愉快的心情、振奋的精神受到严重的扼杀和抑制。因此课堂练习要设计得精彩有趣，教学中教师根据所学内容，设计不同形式的练习。
１、练习形式要注意层次性。
设计不同类型、不同层次的练习题，从模仿性的基础练习到提示的变式练习再到拓展性的思考练习，降低习题的坡度，照顾不同层次的学生，使学生始终保持高昂的学习热情。比如“三角形内角和”中在运用规律解题时， 先已知两角求第三角；再已知直角三角形的一锐角求另一角，感知直角三角形的两锐角之和是９０°；最后已知三角形的一角，且另两角相等，求另两角的度数，或已知三角形三个角的度数均相等，求三角形的三个角的度数。以上设计，通过有层次的练习，不断掀起学生认知活动的高潮，学生学起来饶有兴趣，没有枯燥乏味之感。
２、练习形式要注意科学性和趣味性。
布鲁纳说过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣。”教学时可适当选编一些学生喜闻乐见的、有点情节又贴进学生生活经验以及日常生活中应用较广泛的题目，通过少量的趣题和多种形式的题目，使学生变知之为乐知。比如，本课在完成基本题后，让学生在自己的本子上画出一个三角形，要求其中两个内角都是直角。在学生画来画去都无从下手时，个个手抓脑袋，冥思苦想。这时教师说出“画不出
来”的理由，学生们恍然大悟。这样可以增加学生的兴趣和对思维的积极性，使学生在掌握教师的方法下， 通过发散性思维， 使他们明白学习方法的重要性， 从而产生爱动脑筋、思考问题的习惯。
“快乐教学”是当代教育界正在深入探讨的课题。随着我国教育体制从应试教育转向素质教育的今天，“快乐教学”必将代替传统的那种枯燥、单板的教学模式，苦学乐学 会学，这是时代发展的必然结果。思维能力的培养是伴随着兴趣的产生的， 而浓厚的兴趣是靠着反映敏捷的思维作铺垫的。两者之间一种无意识的连接关系， 是一同成长的。所以在教学中不能只重视激发兴趣， 也不能只重视思维能力的培养。应该着眼于两者之间的内在联系。兴趣是思维发展的平台， 思维是兴趣的基础， 兴趣不是天生的， 而是在思维潜意识中某些问题的探索而产生的结果。因此， 在数学教学中， 教师要特别注意培养学生根据题目中的具体条件， 自觉灵活地运用数学方法， 通过变换角度思考问题。这样， 就可以发现新方法， 制定新策略， 长期坚持这样的方法训练， 学生一定能产生浓厚的学习数学、运用数学的兴趣。
作文六：《数学思维》3200字数学是思维的体操，
数学知识是人类智慧的结晶，是人类生产生活的重要工具。我们在运用数学知识的同时，离不开我们的思维能力。因此，对学生数学思维能力的培养显得尤为重要。那么，小学生的数学思维能力有什么特点呢？
１、小学生直观形象思维能力较强。
小学生总是对自己见到、摸到、嗅到、听到的事物感兴趣，能够留下深刻的印象。例如：当你问一个５岁的孩子１＋２等于几时，他可能抓耳挠腮，支吾半天不知道，但如果你给他一块糖，然后再给他两块糖，这时，你再问他一共有几块糖，他马上就会回答有三块糖。其实，小孩并不是不知道１＋２等于几，而是因为他们的年龄还小，对事物的认识和思维过程总是与具体的事物联系在一起的。
２、小学生抽象概括能力较弱。
小学生的抽象概括能力较弱，他们对抽象概念的理解总是借助于对直观事物的了解。还记得在讲除法的初步认识“平均分”这节课时，学生对“平均分”这一概念不理解，我在教学中就利用直观的教具来帮助学生突破这一难点。我先拿来２０块糖，按照７、６、４、３的顺序分给４个人，然后我问同学们“这是平均分吗？”学生回答“不是”。后来，我一个一个的分，正好每人都分得５块糖。学生大声“这就是平均分，就是每个人分得的糖同样多。”在这里学生对“平均分”这一抽象的概念的理解正是借助直观的实物糖块来实现的，否则，学生在“平均分”这一概念的理解上不但会不理解，而且还会耗费不少宝贵的时间。
３、小学生有效思维的时间较短。
由于小学生思维品质的特点，小学生自我控制能力弱，因此，小学生注意力集中的时间较短，那么学生有效思维的时间就较短。如果我们教师一节课大部分时间都在进行新授内容的学习，而不变换花样，课堂教学效果肯定不会太好。
４、小学生思维的内容浅显，缺乏灵活性。
在教学找规律时，２、５、９、１４、２０、＿＿３５、４４中间的数应该填几，有很多同学找不到规律，就放弃了，没有进行深入的思考。在他们的印象中像２、４、６、８、１０、１２、１４和１、３、５、７、９、１１、１３这样的等差数列，才算有规律，因为它们每相邻两个数之间差２。而２、５、９、１４、２０，＿＿３５、４４，它们的差依次是２、，３、４、５、６、７、８、９，有一定的变化性，学生学习起来就困难较多，这与学生年龄尚小的思维特点是分不开的。
那么，如何培养小学生的思维能力呢？我认为应该努力做好以下几件事：
一、通过多种途径激发学生的思维动机。
动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。？
教师如何才能激发学生思维动机呢？这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机。具体做法是：
１、教师巧妙设疑，引发学生思维的动机。
苏霍姆林斯基说过：“学生来到学校里，不仅仅是为了取得一份知识的行囊，更主要的是为了变得更聪明。”本着这样的思想，在教学中，我们应充分挖掘教材，通过多层次的布疑引探，诱发学生积极主动地思考、解决问题。
教学“乘法的初步认识”时，我一进入课堂就出示相同加数的连加法：４＋４＋４＋４＋４＋４，
６＋６＋６＋６，题出来后，我立刻说出结果，问学生：“我算得对吗？快吗？”然后带着神秘的色彩说：“只要你们出加数是相同的连加法，不管有多少个加数，我都会很快很准地算出结果。”这时，学生注意力非常集中，都急于想知道我有什么诀窍，也就是说激起了学生的求知欲望，为完成新的学习任务奠定了良好的基础。
２、学生参与操作，引导学生思维的动机。
手和脑之间有着千丝万缕的联系。手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手也得到发展，使它变成了思维的工具。只有学生真正动手参与，学生才能记得更牢，因为在学生的操作过程中不仅是身体的动作，而是与大脑的思维活动紧密联系在一起的，大脑支配人体的各个器官进行协调的工作。操作中学生不但要观察、分析、比较，还要进行抽象，概括，从中发展思维。如教学“圆柱体和圆锥体的认识”时， 我让学生通过观察、触摸，说一说圆柱体和圆锥体的面各有什么特点，它们各由哪几部分组成，它们的侧面展开图和高各有什么特点，学生回答非常踊跃，极大地提高了教师教的效率，也提高了学生学的效果。学生在思维中操作，在动手中思维，并通过语言将过程“内化”为思维，是使其思维得到发展的一个非常好的途径。。
３、教师创设情境，激活学生思维的动机 。
爱因斯坦曾经说过：“教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。”教学中，教师应巧妙地创设问题情境，让学生产生迫不及待地要获取新知的积极情感，激活学生的数学思维。任何缺乏情感的教学活动，非但不能促使学生积极主动地学习，反而会导致学生厌学。
还记得，有这样一道题，我让学生讨论：一个长方形，长减少一米，宽增加一米，它的面积和周长会发生怎样的变化？这一提问，使学生对问题本身发生了极大的兴趣，大家凭感性回答，答案不一，且都不能讲清道理。学生都迫切想知道正确答案，我抓住这启迪思维的最好时机，让学生举例说明。在学生讲明道理后，我进一步提问：“如果你按照这样的变化去思索，能发现什么规律？” 这时学生兴趣更高，经过小组讨论探求，很快说出结论：在周长相等的情况下，长与宽越接近，面积越大；长与宽相等时，面积最大；周长相等的长方形和正方形，正方形面积较大。由于我不断设置问题情境，引疑诱导，整个学习过程中，学生情绪高涨，思维潜力得到深层开发，感觉自己的聪明智慧，体验到成功的快乐，从而更积极主动地探求知识，与此同时，思维的深刻性也就得到了培养。
二、合理运用直观教具， 发展学生的数学思维。
小学生的思维特点是以具体形象性为主。数学学科特点与儿童思维水平之间有一定的距离。缩短两者之间距离所采用的手段主要靠直观教学。根据小学生心理特点及认识规律， 教具对发展学生抽象思维能力能够起到一定的作用。学生可将原有的智力活动方式外化为动手操作的程序， 然后再通过这一外部程序“内化”为自己的智力活动方式。但是只有适度使用教具， 才能有效地促进学生抽象思维的发展。否则，始终依赖教具，思维的水平也难以有效提高。
三、培养学生的语言表达能力，促进其思维的发展。
语言是表达思维的重要方式。实践证明，看的思维效率最低，写的思维效率较高，说的思维效率最高。有许多思维的飞跃和问题的突破正是在说的过程中实现的。思维和语言是密切联系着的。语言是思维的“外壳”，思维是语言的“内核”，思维决定着语言的表达。反过来，语言又促进思维的发展，使思维更富有条理，两者相互依存。小学生数学思维的形成与发展是借助语言来实现的，发展学生的思维，必须相应地发展学生的语言。首先， 教师要努力做到数学语言应用的目的性、科学性、逻辑性、规范性、启发性。教学中，教师要考虑小学生的语言特点，用生动有趣的语言，
拨动学生的心弦，激活学生的思维。其次， 教师要给学生充分提供语言训练的机会，培养学生用确切的、完整的、简练的、清晰的语言来表达思维的结果，做到思维与语言表达的统一。要经常让学生亲自动笔、动口、动手，将数学语言的准确性、严密性、逻辑性、示范性挂在学生口中，印在学生脑中，让学生“手上会做”、“脑中会想”、“嘴上会说”，使学生的思维向深层次发展。学生在回答问题时，教师不能只要求意思答对就行，还应要求学生把在感知事物过程中所进行的比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维过程表达清楚，力求精炼明了地说明问题。这样不仅培养了学生语言的表达能力， 更有利于训练学生的思维能力。因此， 在数学教学过程中，教师要重视提高学生的语言表达能力，促进学生思维的发展。
总之，在小学数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。
作文七：《数学思维(8-16)》8800字第９讲计算综合二
拓展篇
１．计算：（３． ８５÷
５４１＋１２． ３⨯１） ÷３⋅ １８５４
７１１⨯４＋÷２７⋅ ２．计算：１３５８１３－３÷３４１６
５９１９＋３－５． ２２１９９３⨯０． ４１． ６３．计算：÷（＋）． ５２７１９９５⨯０． ５１９９５１９－６＋５． ２２９５０
４．我们规定：符号“Ｏ ”表示选择两数中较大数的运算，例如：３．５ Ｏ ２．９＝ ２．９ Ｏ３．５＝３．５．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：３．５△２．９ ＝２．９△３．５＝２．９．请计算：
（０． ６２５∆２３１５５） ⨯（ ０． ４） ⋅ （○ ０． ３） ＋（∆２． ２５） ３１０４
５３１５７９７５３５７９７５３１３５５３１５７９７５３１３５５７９７５３＋＋） ⨯（＋＋） －（＋＋＋） ⨯（＋） ⋅ １３５３５７９７５３５７９７５５３１１３５３５７９７５５３１３５７９７５ ５．计算：（
１１１１１１１１１１１＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋） ⨯２００４计算结果的小数点后第２００４位数字是多少？ ３４５６７８９１０１１１２１３
１７．古埃及人计算圆形面积的方法是：将直径减去直径的，然后再平方．由此看来，古埃及人认为圆周率л等９６．算式（＋
于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
８．（１）将下面这个繁分数化为最简真分数： １２（２）若下面的等式成立，工应该等于多少？
１
５＋
４＋３＋２； １１＋２＋ｘ ＋４＝８⋅ １１
９．已知符号“＊”表示一种运算，它的含义是：ａ ＊ｂ ＝１１１＋，已知２＊３＝，那么：（１）Ａ等于４ａｂ （ａ ＋１）（ｂ ＋Ａ ）
多少？ （２）计算（１＊２） ＋（３＊４） ＋（５＊６） ＋ ＋（９９＊１００） ⋅
１０． 已知Ａ ＝１１１１１１１１＋＋＋ ＋， Ｂ ＝＋＋＋ ＋ １⨯２３⨯４５⨯６１９９９⨯２０００１０００１００１１００２１９９９
比较Ａ 和Ｂ 的大小，并计算出它们的差．
１１． 根据图９－２中５个图形的变化规律，求第９９个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．
１２． 定义：ａ ｎ ＝１１１１１（１＋） ⨯（１＋） ⨯（１＋） ⨯ ⨯（１＋） ｎ
（１）求出ａ １， ａ ２， ａ １００， ａ ２００的大小；
（２）计算：４１００＋＋＋＋ ＋⋅ ａ １ａ ２ａ ３ａ ４ａ １００
第十讲 行程问题六
拓展篇
１．一辆轿车和一辆巴士都从Ａ 地到Ｂ 地，巴士速度是轿车速度的４．巴士要在两地的中点停１０分钟，轿车中５
途不停车，轿车比巴士在Ａ 地晚出发１１分钟，早７分钟到达Ｂ 地．如果巴士是１０点出发的，那么轿车超过巴士时是１０点多少分？
２．客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需１０小时，货车行完全程需１５小时．两车在中途相遇后，货车又行了９０千米，这时客车行完了全程的８０％，求甲、乙两地的距离．
３．甲、乙两人从Ａ 、Ｂ 两地同时出发相向而行，相遇时乙比甲多行了１００米，如果甲出发后在距离ＡＢ 中点２２０米处把速度提高到原来的３倍，则相遇时甲比乙多行了１００米，求Ａ 、Ｂ 两地的距离，
４．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自上山速度的２倍．甲与乙在离山顶４００米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求山脚到山顶的距离．
５．某天早上８点甲从Ｂ 地出发，同时乙从Ａ 地出发追甲，结果在距离Ｂ 地９千米的地方追上．如果乙把速度提高一倍，而甲的速度不变，那么将在距离艿地２千米处追上．请问：Ａ 、Ｂ 两地相距多少千米？
６．如图１０－２，Ａ 、Ｂ 两地相距５４千米，Ｄ 是ＡＢ 的中点．甲、乙、丙三人骑车分别同时从Ａ 、Ｂ 、Ｃ 三地出发，甲骑车去Ｂ 地，乙骑车去Ａ 地，丙总是经过Ｄ 之后往甲、乙两人将要相遇的地方骑，结果三人在距离Ｄ 点５４００米的Ｅ 点相遇．如果乙的速度提高到原来的３倍，那么丙必须提前５２
分钟出发三人才能相遇，否则甲、乙相遇
的时候，丙还差６６００米才到Ｄ ．请问：甲的速度是每小时多少千米？
７、甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔４分钟遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。小张每隔５分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔６分钟遇到一辆迎面开来的电车。如果电车行驶全程需要５６分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分钟？
８、米老鼠从Ａ 到Ｂ ，唐老鸭从Ｂ 到Ａ ，米老鼠与唐老鸭的速度比为６ ：５，Ｍ 是Ａ 、Ｂ 的中点。在Ａ 、Ｍ 之间有一Ｃ 点，距离Ｍ 点２６千米，此处有一个魔鬼，谁经过他都要减速２５％；Ｂ 、Ｍ 之间有一Ｄ 点，距离Ｍ 点４千米，此处有一个仙人，谁经过他都会加整２５％；现在米老鼠和唐老鸭同时出发，且同时到达各自的目的地，请问：Ａ 、Ｂ 两地相距多少千米？
９、自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了１５０级；乙从底部向上走到顶部，共走了７５级。如果甲的速度是乙的速度的３倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
１０、四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是１８千米，四辆车的最大时速分别为４０千米、５０千米、６０千米和７０千米。现在四辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在同一地点？
１１、某种小型飞机加满油最多能飞行１５００千米，但不够从Ａ 地飞到Ｂ 地。如果从Ａ 地派３架这样的飞机，通机实现空中供油，可以使其中一架飞机飞到Ｂ 地，另两架安全返回Ａ 地，那么Ａ 、Ｂ 两地最远相距多少千米？
１２、现在两支球队同时从某地到９千米外的体育馆进行比赛，但只有一辆汽车接送，且每次只能乘坐一支球队。已知队员步行速度均为６千米／时；汽车满载的速度为２７千米／时，空载的速度为３６千米／时。请问：比赛早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到场即可开始。）
第１１讲不定方程
拓展篇
１．甲级铅笔７角一支，乙级铅笔３角一支，张明用５元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？
２．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有２３个鸡蛋，每个小盒里有１６个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买５００个鸡蛋，他一共要买多少盒？
３．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有９０００人，每个航空兵师有８０００人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有２７．１万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？
４．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树１２棵，其余每人都植树１３棵；乙小队有一人植树８棵，其余每人都植树１０棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
５．将一根长为３８０厘米的合金铝管截成若干根长为３６厘米和２４厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
６．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对１题给５分，不答给２分，答错不给分；另一种是先给４０分，答对１题给３分，不答不给分，答错扣１分，某考生两种判分方法均得７１分，请问：这次比赛共考了多少道题？
７、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了―百鸡问题‖：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 这个问题是说：每只公鸡价值５文钱，每只母鸡价值３文钱，每３只小鸡价值１文钱．要想用１００文钱恰好买１００只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
８．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔４支一盒，每盒５元；圆珠笔６支一盒，每盒６元；铅笔１０支一盒，每盒７元．小李总共花了９７元，买了９０支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？
９、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图１１－１，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应１７分、１１分和４分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中１００分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？ 如果规定恰好投中１２０分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？
１０、阿奇到商店买糖，巧克力糖１３元一包，奶糖１７元一包，水果糖７．８元一包，酥糖１０．４元一包，最后他共花了３６０元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖？
１１、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了２千克桔子、３千克苹果和４千克梨，共花了２８．５元，冬冬买了３千克桔子、５千克苹果和７千克梨，共花了４７．７元．结账的时候碰到老师，老师买了６千克桔子和３千克苹果，那么老师应该花了多少钱？
１２、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了２３元．小强打算用１０９元来买这两种笔（也允许只买其中一种） ，可是他无论怎么买，都不能把１０９元恰好用完．求红笔的单价．
第１２讲进位制与取整符号
拓展篇
１．（１）请将下面的数转化为十进制的数：（２０１１）３、（７Ｃ１） １６；
（２）请将十进制数１０１转化为二进制的数，６４１转化为三进制的数，１９４９转化为十六进制的数．
２．请将三进制数（１２０２１）３化成九进制的数，将八进制数（７４２）８化成二进制的数．
３．（１）在七进制下计算：（３２６）７＋（４０２）７、（３２６）７×（４０２）７；
（２）在十六进制下计算：（３５Ｅ６）１６＋（７８９１０）１６．
４．算式（４５６７）ｍ ＋（７６８）ｍ ＝ （５４４６）ｍ 是几进制数的加法？（５３４）ｎ ×（２５）ｎ ＝ （１６２１４）ｎ 是几进制数的乘法？
５．自然数ｘ ＝（ａｂｃ ） １０化为二进制后是一个７位数（１ａｂｃａｂｃ ） ２．请问：ｘ 等于多少？
６．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。这个自然数的十进制表示是多少？
７、某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字０至５，即从第一页开始这本书的页码依次为１，２，３，４，５，１０，１１，１２，１３．１４，１５，２０，…．那么这本书的第３６５页的页码是多少？
８、如果［ｘ ］＝３， ［ｙ ］＝０， ［ｚ ］＝１． 求：
（１） ［ｘ － ｙ］的所有可能值；（２）［ｘ ＋ ｙ － ｚ］的所有可能值．
９、计算（结果用л表示）
（１）｛｛π｝＋π｝＋｛［π］＋π｝＋［｛π｝＋π］＋［［π］＋π］；
１０、计算：［
１１、解方程（１） ｘ ＋２｛ｘ ｝＝３［ｘ ］；（２） ３ｘ ＋５［ｘ ］－４９＝０．
１２、解方程［］＋［］＋［］＋［
（２）［１０－２π］＋［π］⨯｛π｝． ２３⨯⨯２２３⨯３９２３⨯４０］＋［］＋ ＋［］＋［］⋅ ４１４１４１４１ｘ １ｘ ２ｘ ６ｘ ］＝１１０， 其中ｘ 是整数。 １０
第１３讲应用题综合一
拓展篇
１．甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你４块钱，正好抵了．”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他９块钱．”于是甲只付钱给丁，给了３１元．那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁分别付了多少元？
２．２００８年３月１日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为２０００元／月．表１３－２是工资、薪金所得项目税率表：
表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去２０００元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款数．则在这种税率实行期间：
（１）王先生某个月的工资、薪金收入为４４８０元，该月份他交纳的税款是多少元？
（２）张先生某月份交纳了１１６５元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？
３．有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，阿奇先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后又用白色纸片拼下去，„„，这样重复拼．当阿奇用黑色纸片拼过５次以后，、黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？
４．有一辆杂技自行车，前轮的半径是４１１分米，后轮的半径是３分米，那么当后轮转的圈数比前轮多１０圈的１１３
时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值３．１４． ）
５．两个农妇共带１００个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就能把它们卖１８０元，”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖８０元．”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？
６．张先生向商店订购了每件定价１００元的某种商品８０件．张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价１元，我就多订购４件，”经理算了一下，若减价１％，由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多５２元．那么按张先生的要求，商店最多可以获得多少元利润？
７．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的５条边分别与５块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的６条边中，有３条边与黑色皮子的边缝在一起，另３条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有１２块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？
８．如图１３ – ２所示，相距１５厘米的两条平行线ａ 和ｂ 之间，有直角三角形Ａ 和长方形Ｂ ．直角三角形Ａ 沿着直线ａ 以每秒１厘米的速度向右运动，长方形Ｂ 沿着直线ｂ 以每秒２厘米的速度向左运动．请问：Ａ 与Ｂ 有重叠部分的时间持续多久？ 其中重叠部分的面积保持不变的时间有多长？
９．如图１３ – ３所示，Ａ 、Ｂ 两点把一个周长为１米的圆周等分成两部分．蓝精灵从Ｂ 点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是詈米，如果它跳到Ａ 点，就会经过特别通道Ａ 曰滑向曰点，并从Ｂ 点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了１０００次，那么跳完后圆周长等于多少米？
１０．汽车轮胎如果放在前轮可以行驶５００００千米，如果放在后轮可以行驶３００００千米．现有一辆汽车，允许在恰当的时候将前轮和后轮互换，那么最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎？ 如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调？
１１．在Ａ 、Ｂ 之问有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树．早上９：３０时有一辆汽车从Ａ 出发，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上１０：００到达Ｂ ．一辆摩托车在当天早上９：２５从Ｂ 出发，以变化的速度开往Ａ 地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度从Ｂ 到Ａ 恰好要１５分钟．如果摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树处遇到汽车的，那么摩托车最晚什么时问之前到达Ａ 地？
１２．如图１３—４所示，在一个大圆周上均匀分布着２００个小球，沿顺时针方向依次编号为１，２，３，…，２００．每个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动（单位是米／秒） ，当在某一个时刻有若干小球相遇在一起时，这些小球就会合并成一个小球，并以原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动．经过充分长的时间之后，圆周上最终剩下几个球在运动？ 速度等于多少？
第１４讲计数综合三
拓展篇
１．老师给冬冬布置了１２篇作文，规定他每天至少写ｌ 篇，如果冬冬每天最多能写３篇，那么共有多少种写完作文的方法？
２．用１０个１×３的长方形纸片覆盖一个１０×３的方格表，共有多少种覆盖方法？
３．现有１４块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？
４．如果在一个平面上画出８条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画８个圆，最多可以把平面分成几个部分？
５．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第１次传球，经过８次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
６．如图１４－１所示，一个圆环被分成８部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜
色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？
７．圆周上有１０个点Ａ １，Ａ ２，…，Ａ １０以这些点为端点连结５条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式？
８．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如１３７０、３６７１２等．请问：在１至１００００中有多少个这样的多位数？
９．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为７和５，例如１９７５、７５６７５等，但４３２５７９。不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个？
１０．用１至９这９个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个？
１１．一个七位数，每一位都是１、２或者３，而且没有连续的两个ｌ ，这样的七位数一共有多少个？
１２．满足下面性质的四位数称为―好数‖：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过３．例如１３４６、２５７９是好数，但１５６７就不是好数．请问：一共有多少个好数？
第１５讲几何综合二
拓展篇
１．如图１５－１１，正方形ＡＢＣＤ 的面积是６４平方厘米，Ｅ 、Ｆ 分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．（л取３．１４）
２．图１５－１２中阴影部分的面积是２５平方厘米，求圆环的面积．（л取３．１４）
３．如图１５－１３，一个六边形的６个内角都是１２０°，其连续四边的长依次是１厘米、９厘米、９厘米、５厘米．求这个六边形的周长．
４．如图１５ －１４，在长方形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ ３０厘米，ＢＣ＝ ４０厘米，Ｐ 为ＢＣ 上一点，ＰＱ 垂直于ＡＣ ，ＰＲ
垂直于
ＢＤ． 求ＰＱ 与ＰＲ 的长度之和．
５．如图１５－１５，八边形的８个内角都是１３５°，已知ＡＢ＝ＥＦ，ＢＣ＝２０，ＤＥ＝１０，ＦＧ＝ ３０，求ＡＨ 的长度．
６．如图１５－１６，已知ＣＤ＝５，ＤＥ ＝７，ＥＦ＝ １５，ＦＧ ＝６．直线ＡＢ 将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分面积是６５． 请问：三角形ＡＤＧ 的面积是多少？
７．如图１５－１７所示，Ｐ 为长方形ＡＢＣＤ 内的一点．三角形ＰＡＢ 的面积为５，三角形ＰＢＣ 的面积为１３．请问：三角形ＰＢＤ 的面积是多少？
８．如图１５－１８，四边形ＡＢＣＤ 是一个长方形，ＡＣ 是对角线，试比较两块阴影区域Ｓ １，与Ｓ ２的面积大小．
９．如图１５－１９所示，一块半径为２厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段ＡＢ 、ＢＣ 、ＣＤ 滚到位置②．如果ＡＢ 、ＢＣ 、ＣＤ 的长都是２０厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（л取３．１４，答案保留两位小数．）
１０．如图１５－２０，有一块长５厘米，宽３厘米的长方形木盘，先从某个顶点处沿４５。方向打出一个小球，球碰到盘壁之后又沿４５ ０方向弹出，当再次碰到盘壁时，仍沿４５０方向弹出，如此继续，请问：当球再次碰到某个顶点之前它共碰壁几次？
１１．图１５－２１是一个５×５×５的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成１×１×１的小正方体．取出全部至少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体．求可以组成的长方体的最大体积．
１２．图１５－２２
是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．问：这个立体图形由多少个
小正方体组成？
第１６讲最值问题二
拓展篇
１．如图１６－４所示，用一根长８０厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积最大可能是多少？
２．把１４表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？
３．从１，２，„中选出８个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．
口÷口×（口＋口）－（口×口＋口－口）．
４．有１３个不同的自然数，它们的和是１００． 其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
５．将６、７、８、９、１０这５个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的５个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
６．有５袋糖块，其中任意３袋的总块数都超过６０． 这５袋糖块总共最少有多少块？
７．已知算式９９８４ － ８ － ８ － … － ８的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
８．用１、２、３、４、５、６、７、８、９各一次组成３个三位数，使得它们都是９的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
９．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
９８９９从中划去９９个数字，剩下的数字组成一个首位不１０．把ｌ 至９９依次写成一排，形成一个多位数：４
是０的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
１１．邮递员送信件的街道如图１６－５所示，每一小段街道长１千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
１２．如图１６－６，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的Ａ 点出发，沿柜子表面爬到右上角的Ｂ 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．
作文八：《数学思维》3200字《用数学思维方式观察中国传统文化》听后感
１１月４日，我怀着新奇和敬慕之情，听了南京大学罗亮生教授的讲座，他讲座的内容是用数学思维方式观察中国的传统文化，这些内容让我产生了浓厚的兴趣，因为按着传统的思维方式，我们的传统文化就是一个感性思维方式的集合，是“天人合一”精神的产物，都是按着我们的主观意识来表现出来的。罗教授的讲课风趣幽默，同时又不失严谨，论说有据，旁征博引，富有激情，他以新颖独特数学思维方式对中国传统文化的深入研究令我耳目一新，为之折服，使我对数学思维和传统文化的关系有了一个全新的了解。
在讲座开始前林老师您认为：“理性的思维能力是我国传统文化的弱项，由此产生的问题给中国带来了全方位的弊端，培养理性认识将是我们几代人不可或缺的任务，也应是超越专业、学科的重要思维训练。数学是科学的王冠，是理性的代表，有着极其严密的逻辑思维方式，文科生及艺术生相当欠缺，因此在这方面的培养至关重要。”作为一名学习艺术的研究生来说，林老师您的话一语中的，理性的思维方式是我不擅长的一个方面，我考虑问题多用自己的主观思维，很少运用理性思维，使我考虑问题不够全面，也容易走向极端，不利于我开阔艺术视野，从而形成独立思考的能力。
数学思维是一个理性而严谨的思维方式，具有很强的逻辑性，是客观现实存在的表现，是我们必须有的思维方式。思维的目的首先是认识世界，指导我们如何认识世界，从而改变世界，其次认识我们自身，制定社会规则，审视精神需求，表达我们的思想情感等。
思维按照不同的划分标准，有不同的分类方式。首先按思维的起点分为：（１）直观动作思维，如幼儿借助触摸、摆弄物体进行思维，借助手指算术，白蚁专家利用敲击凭经验发现白蚁巢穴。我们在参观作品展览的时候，往往会通过直接触摸艺术作品的方式来更好了解其创作的材质以及风格，这也是直观动作思维的应用。
（２）具体形象思维，如幼儿和小学低年级学生算１＋２＝３，不是数字分析，而是头脑中１个手指加２手指。我们平常要去哪里，头脑中就出现若干条路，分析、比较后作出选择，即使是解决复杂问题，鲜明的形象也有助于思维。无论是
设计专业还是绘画专业在进行创作时都离不开高水平的形象思维，在设计创作中，如果想创作出一个鲜明的形象，大脑中必须有很多类似的形象才可以，通过大脑的筛选，把合适的形象经过设计处理、加工、合成，最后创作出一个完美的形象，这个完美的形象在我们大脑中有相对应的简单的形象存在。绘画创作也不是凭空的想象，任何绘画作品的雏形都在大脑中有一个基本的形象，一幅完美的绘画作品，只不过是把艺术家大脑中简单的形象进行了艺术化的加工和处理，创作出作品。
（３）抽象逻辑思维，由概念、判断、推理组成的思维，这也是数学中主要的思维，研究、探索、发现客观规律，远离臆想、迷信，离不开抽象逻辑思维。在设计中抽象的逻辑思维也是非常重要的，由于我们之前的文化传统不太注重这种思维方式，所以使得我们总体的设计水平落后于世界的先进水平。在设计创作中尤其是平面设计中，抽象思维必不可少，优秀的平面设计作品很少有完全写实的元素存在，大多都是抽象的概念形象，比如说一个人物的人头就用简单的几何图形来代替，这样既简洁还有一定的创意思维。在我国的古代设计中这种抽象思维就存在了，在新石器时代的彩陶上就有这种抽象的几何纹样，如鸟纹和鱼纹，都是从写实到抽象的表现，用简单的几何图形进行组合，这与现代所追求的简洁不谋而合。
按思维的过程主要分为：（１）经验思维，以经验为依据，分析和判断问题，如饿了要去吃饭，冷了要多穿衣服，哪个颜色的好看等这些都属于经验思维。在艺术活动中经验思维运用的比较多，无论是现代还是在古代其经验思维都发挥了重要的作用。在我国古代的造物活动中，很少有明确的理论和规定，都是凭着自己的经验和体会进行创作，如新石器时代的彩陶，其形制的大小和装饰纹样没有统一的标准，包括装饰的位置都是通过生活经验总结出来的，经验在当时是进行造物的主要推动力量。同样成书于古代的设计著作也是经验思维的集合，如《考工记》、《髹饰录》、《绣谱》和《园冶》等都是作者根据自己的经验和前人的经验写成的，基本上没有涉及到科学的论证过程。
（２）理论思维，以科学的原理、定理、定律等为依据，分析、判断问题，这也是典型的数学思维方式，用定理和原理说话，完全符合客观的理性原则，如根据ｓ ＝ｖｔ ，判断去一个地方要多少时间或着速度是多少。在造物和艺术活动中
理论思维也是重要的角色，如建筑设计中，无论是古代建筑还是现代建筑，每根柱子的长短，组合方式都是通过科学的计算总结出来了的，是符合科学原理的，在李诫的《营造法式》中就记录了建筑的一些原理和定律。西汉时期的青铜器《长信宫灯》就是一件符合科学原理的作品，为了防止室内点灯造成的污染，结合水能融烟的科学理论，采用了独特的造型，使烟顺着烟囱融与底座的水中，从而保护了室内的环境，这一古代设计就体现了运用科学的原理和定理去考虑设计中的问题。明式家具是我国古代家具中的典范，它的设计和制作也符合科学的原理，尺寸的大小和形状都是经过精心的计算和打磨，尤其是榫卯结构具有先进的科学原理，使整个家具不用任何胶钉，都能完美的呈现出来。在现代的设计中以科学的理论和定理来进行设计，是一个非常普遍的行为，任何高楼大厦的结构都是通过科学定理来计算出来。科学的理论思维在我国古代设计中的运用确实不多，相反主观思维运用较多，这也与我们传统文化的思维定式有密不可分的联系。
中国传统文化博大精深，是我们丰富的知识宝库，面对传统文化我们要看到前人所做出的贡献，对现代社会的一些指导作用，同时也要看到传统文化的一些不足，面对传统文化我们要批判继承，用现代的眼光来看传统文化，用数学的思维方式来考虑传统文化。
先秦时期是我国传统文化的繁荣时期，从诸子百家的思想及著作，到楚辞、汉赋、唐诗、宋词、元曲及明清小说等都是我国传统文化的组成部分。我国对现代文明的贡献几乎为零，其原因就是中国传统文化中不知道逻辑为何物，缺乏对理性思维的三个要素：概念、推理和判断的深刻认识和运用。在传统文化中“天人合一”、“人定胜天”等主观思维方式占据了重要的位置，没有正确的逻辑思维，没有合理的推理和判断，通过重新审视传统文化，使我们看到传统文化的逻辑性缺少，从而在今后艺术学习过程中更好的运用理性的思维方式，使理性思维和感性思维共同发展，养成正确的思维习惯。
《易经》是六经之首，是我国一本古老的著作，一般说的《易经》，都是指的《周易》，包括“经”和“传”两个部分，其内容比较丰富，语言内涵深厚，它作为我国传统文化中的一部分其重要性是不言而喻的，在我国文化史上具有重要的地位。
用数学的思维来观察易经，可以看到其中的一些不足，首先它是一个符号化
的堆积，没有意义，内涵的概念不够明确，使得其外延不确定，从而易经就变成了一个箩筐，可以装进去的东西也就很多，认识到这一点，它就显得不神秘了。其次它任何一对符号，都可以描述所有的事物，因此，如同１和０，只有对事物的后天描述性，没有先天的预见性。概念的随意性，臆想代替演绎这些都造成了它逻辑思维的混乱性，影响了中国几千年的思维方式，作为文化现象研究易经，无可非议，也是我们现代学者应该做的，但将易经神秘化、博大精深化，是不懂理性思维、愚昧的表现，面对易经这本著作我们要学会用理性的思维去分析它，好的方面我们来加以研究和继承，对于不符合逻辑的部分，我们也要正确的看待。对待其他的传统文化态度也是一样，用数学的思维重新去审视，批判不见得是坏事，批判才是为了更好的继承，
通过用数学的思维方式来重新审视我国的传统文化，其目的是为了让我们掌握理性思维方式，学习和做事情都有逻辑性，多用理性思维去考虑问题。作为学习文科尤其是学习艺术的学生来说，感性的思维方式往往占据了主要的思维空间，常常所谓的跟着自己的感觉走，考虑问题从自己的主观出发，从而忽视了科学的客观存在，不利于我们综合思考能力的提高，因此我们要提高数学的思维方式，使理性思维和感性思维共同发展，从而养成正确的思维方式，使我们对艺术有一个更深层次的理解。
作文九：《数学思维》12300字怎样培养学生的数学思维
第一组庞启超、梁露、黄玉兰集 思维就是人类揭示事物本质特征的过程，而数学就是研究在的和思维的现实或关系本质的科演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。
思维能力包括理解力、分析力、综合力、比较力、概括力、抽象力、推理力、论证力、判断力等能力。而数学思维包括形象思维、抽象思维、发散思维、创新思维、定向思维、正向思维、逆向思维、类比简化思维、特殊一般化思维、构造模型思维、归纳猜想思维、变换转化思维整体思维等思维。
该怎样培养学生的数学思维能力？
小学数学教学的重要任务是发展学生的思维能力，首先了解数学的思维类型则是有助于完成这一目标；其次要了解儿童的数学思维能力，在教学过程遵循儿童认知规律。最后明确方法确定方法。上面已经简要了解了数学思维的类型，下面看一看儿童的认知规律：
一、儿童的观察能力有较为明显的阶梯型，即——————————————
，同时应当注意观察本身的两个特征：双重性和客观性。
二、儿童比较能力是阶段性发展的，在发展他们的比较能力时要循序渐进，逐渐培养，有低层次到高层次去培养。
四、儿童的抽象和概括能力也有一定的阶段性。“前运算阶段”（低年级儿童）到“前运算阶段”（年龄稍大的儿童）发展。
五、课本１７页
培养目标（善想象、能交流、懂提问、重实践）
一，
二，
（课本）
培养的方法和途径
一、单向延展法
即以某一知识为端点，将若干项知识经过联想活动纵向组合起来，形成有
层次有过程、动态发展的思维的方法，体现出逻辑递进关系。
（一）由因导果演化延展
以果为因演化延展。如要求学生口述平面几何图形的演化过程；平面几何
图形（长方形、平行四边形、梯形、三角形）面积计算公式的推演过程。比如问：长方形的一边延长时，变成怎样的几何图形？当此几何图形的一个底逐渐缩小到一点时，变成了什么样的几何图形？
（二）由易到难逐层延展
如：⑴一班４０人，二班比一班多１０人， 二班有多少人？ ⑵一班有４０人，二班比一班多１０人，两班共有多少人？ ⑶一班二班共有９０人， 二班比一班多１０人， 两班各有多少人？ ⑷一班二班共有９０人， 从二班调５人到一班后，， 两班人数相等， 两个班原来各有多少人？ ⑸一班二班共有９０人， 从二班调３人到一班后， 二班比一班多４人， 两个班原来各有多少人？ ⑹两个班共有９０人，二班调给一班８人后，二班比一班少６人，两个班原来各有多少人？
这样的练习思考题，有目的，有针对性地训练学生的思维能力，同时，练习也能够让学生在掌握书本知识的基础上起到“举一反三”的作用，是书本知识的巩固和延伸。这种方法是依照思维递进的程序性和数学的逻辑性的统一，以及学生的认识水平，对学生思维能力的培养应由浅入深，由易到难的原则。
（三）注重逻辑推理延展。
数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，教学中注重逻辑推理能力的培养，就是很好的思维能力的培养。
如：甲车从ａ城到ｃ城，乙车从ｂ城到ｃ城，两车共行使１６２０千米， 甲车行了４／５，乙车行了３／４后，没走的路程相等。甲乙两车各行了多少千米？根据甲车行了４／５推想到甲车所行的路程平均分成了５份，行了４份，没行１份；从乙车行了３／４推想到乙车所行的路程平均分成了４份，行了３份，没行１份。从没行的路程相等推想到乙车所行路程的１份相当于甲车所行路程的１份，可知两车所行路程的和恰有这样（５＋４）份。从总路程和总份数可以推想到１份的路程ｓ１＝１６２０÷（５＋４）（千米），所以甲车所行路程是５ｓ１，乙车所行路程是４ｓ１。
二、多向延展法
即以某一知识为中心，向四面八方自由的扩展开，形成多方面、多角度
我注意引导学生沟通前后单元、此单元和彼单元的知识联系，打破知识单元的框框，促使学生在多思的过程中培养思维的灵活性和发散性。
（一） 叙述理解延展
如根据：“甲相当于乙的３／５”我要求学生改变角度叙述：“甲相当于乙的
６０℅”、“甲与乙的比是３：５ ”、“ 乙相当于甲的５／３倍”、“甲比乙少２／５”、“ 甲与乙的和相当于乙的８／５”、“甲与乙的差相当于乙的２／５”。即转化型
这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简
单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，４ 人会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。
但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成１人，显然鱼１条；然后转换成２人，则鱼有３条；再３人，则７条；再４人，则１５条。
（二） 转化基准多向延展（发散思维）
如“乙筐西瓜的个数是甲筐的３／５”：以甲筐为单位“１”，则乙是甲的几分
之几？（３／５），以乙为单位“１”，则甲是乙的几分之几？（５／３），甲比乙多多少？（ ５／３－１＝２／３），总数是乙的几分之几？ （１＋５／３）；如果以总数为单位“１”，则甲是总数的５／５＋３，乙是总数的３／５＋３等。
（三）思路辐射延展
感受解决问题策略的多样化与灵活性， 并比较不同方法的特点， 如“有两人各自骑自行车行走。当甲车轮滚动４０圈时，乙车轮在同样的距离中滚动了３０如果乙车轮的周长比甲车轮的周长长０．３２米， 求这段距离。”
解法一：用归一法解。先求出甲车轮旋转一周的距离，再求总距离。
０．３２×３０÷（４０－３０） ×４０．
解法二：用倍比法解。先求出甲车轮旋转１０圈的距离，再求出总距离。
０．３２×３０×〔４０÷（４０－３０） 〕．
解法三：用分数法解。以这段距离为单位“１”。
０．３２÷（１／３０－１／４０）。
解法四：用列方程求解。根据车轮滚动的距离相等关系，设甲车轮的周长为ｘ 米，那么可以列出这样的方程：
４０ｘ＝３０（ｘ＋０．３２）．
解法五：运用比例来解。根据距离一定，车轮周长与周数成反比例关系，设甲车轮的周长为ｘ 米，则
３０：４０＝ｘ：（ｘ ＋０．３２）。
解法六：根据求最小公倍数方法解。
有３０和４０的最小公倍数＝２×５×３×４＝１２０，０．３２×１２０＝３８．４（米）。
这样不仅在于传授知识，让学生学习、理解、掌握数学知识，更重要的是要培养学生灵活多变的解题思维，从而既提高教学质量，又达到培养能力、发展智力的目的。
也可以说系统型解决问题
这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９在不改变顺序前提下（即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒），在它们之间划加减号，使运算结果等于１ＯＯ 。教师可引导学生把１０ 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次：找１００ 的最接近数，即８９ 比１００ 仅少１１。第二个层次：找１１ 的最接近数，很明显是前面的１２。第三个层次：解决多ｌ 的问题。整个程序如下：１２＋３＋４＋５－６－７＋８９＝１００
三、反思延展法
许多教育者认为如果我们的学生有了解题后反思的良好习惯，就能很好地促进思维能力的提高，从而学好数学。解题后反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考。我在平时的教学中学习他人经验，指导学生解题后反思，在反思中训练学生思维，发展思维水平。
如：“给你一段２０厘米长的细铁丝做成不同的长方形或正方形，你能做几个？它们的面积分别是多少？”学生通过思考，有以下几种：
长方形 长 ９厘米 宽１厘米 面积９平方厘米
长８厘米 宽２厘米 面积１６平方厘米
长７厘米 宽３厘米 面积２１平方厘米
长６厘米 宽４厘米 面积２４平方厘米
正方形 边长５厘米 面积２５平方厘米
学生做到这一步都停住了，觉得问题解决了，不再深究。如果这样，学生得到的仅仅是这道题的答案，对学生来说，思维并没有一个提高的过程。这时，老师引导学生反思：这道题里还隐藏着秘密，你有发现吗？学生通过观察、比较，发现了长方形长、宽、面积之间的新的关系。“在周长相等的情况下，长与宽的差越小，面积反而越大。”“周长相等的情况下，正方形的面积一定比长方形大。”为了思维的再深入延展，教师可以进一步引导学生再次反思：这条规律是不是只在这道题目里适用？学生通过举例、小组交流，得出了这是一条普遍存在的规律。解题后如此反思，既有利于沟通知识间的纵横联系，也使思维得到了提高。
四、破思维定势训练法
就是教师以一组一组的题目呈现，通过题组训练，打破思维定势的一种思维
训练方式。学生在用某种思维模式多次解决同类问题而形成思维定势后，再遇到相类似的新问题时，往往会出现机械套用以前思维模式的倾向，而且同一方法使用次数越多，这种倾向越明显。思维有了较多的定势，就会阻碍数学思维的发展。我常采用题组进行教学，选取的题型一般为基本题与变式题整体出现。
如基本题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份比一月份多加工１／４，二月份加工多少吨？
变式题：去年，甲厂收入比乙厂多１／５，乙厂收入１０００万元，甲厂收入多少万元？
结构变式题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份比一月份少加工１／４，二月份加工多少吨？
叙述变式题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份如果再多加工一月份加工吨数的１／４就和一月份一样多，二月份加工多少吨？
通过这样的题组练习，训练学生思维，提高思维能力，使学生不因结构的定型化而产生思维定势。
五、常规求异法
我所讲的常规求异法，不是指一题多解的求异思维训练，是指摆脱常规思维的支配，独辟溪径，既在意料之外，又在情理之中，引导学生从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决的思维训练方式。
如在培养学生空间想象能力时，我出示下题：“用１２根火柴棒摆６个相等的正方形，你能摆出来吗？”按习惯思路，学生往往在平面上摆弄，显然是无法达到题目要求的。我引导学生联想已学过的正方体的特征（１２条棱的长度相等，六个面的面积相等），学生的思路打开了，很快解决了问题，都摆出了一个正方体，找到了六个相等的正方形。
又如在新授结束后进行复习时我出了这样一道题：张师傅要加工一批零件，每小时加工２４０个，７小时完成。如果要在６小时完成， ２４０×７÷６＝２８０（个） 。觉得容易，不再思维。我在学生不再思维时，在黑板上写了这样一个算式：２４０＋２４０÷６＝２８０（个） 我就引导学生思考、合作讨论。通过讨论、交流学生终于知道了这样做正确的理由，而且简便。经过一番思维，体验到了常规求异法的精彩。
综上所述，在小学数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。
六、加强对比，培养学生思维的可逆性
在低年级学生作业中常见＂ 比．．．．．． 多＂ 用加，＂ 比„„ 少＂ 用减的弊病。原因是学生对数学概念混淆不清，思维仍停留在表象阶段，导致理解上的偏差，致使解题思路进入误区，为了防止学生思维进入误区，我是这样做的：
１、建立＂ 多＂ 与＂ 少＂ 、＂ 大＂ 与＂ 小＂ 的概念。先出示两道填空题： （１）蜜蜂比蚂蚁（ ）， （２）蚂蚁比蜜蜂（ ）。 学生对这种日常生活中接触的事情，已经有了感性经验，解答时都没有什么困难。然而，如何引导学生进行逆向思维，是解决低年级学生见＂ 多＂ 就知，见＂ 少＂ 就减这一弊病的关键。我先让学生比较这两道题的含义，他们发现＂ 蜜蜂比蚂蚁大＂ 就是＂ 蚂蚁比蜜蜂小＂ 。然后，要求同桌的同学， 一个说出＂ 比„„多＂ 的句子，另一个换成＂ 比．．．．．． 少＂ 的句型。通过这样的训练，学生头脑中就建立了＂ 比．．．．．． 多＂ 少＂ 这两种句型互换的概念。
２、出示两道题（１）小芳做了５朵黄花，做的红花比黄 花多３朵，红花做了几朵？ （２）小芳做了５朵黄花，做的黄花比红花少３朵，红花做了几朵？ 分别让学生板演解答，结果一样，５＋３＝８ （朵） 为什么两道题答案相同呢？ 我让学生积极思考，互相讨论，得出一致的意义：红花比黄花多 ３朵，就是黄花比红花少３朵，意思相同，句型不一样。两 用加法计算。这样，就可以避免学生见＂ 多＂ 就加，见＂ 少＂ 就础的弊端，培养思维的可逆性。
也可以说是类比型
这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如：
①金湖粮店运来大米６吨。比运来的面粉少１／４吨、运来面粉多少吨？
②金湖粮店运来大米６吨，比运来的面粉少１／４，运来面粉多少吨？
以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。
七、． 激化型
这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。如问：３ 个５ 相加是多少？学生答：５＋５＋５＝１５ 或５×３＝１５。教师又问：３ 个５ 相乘是多少？学生答：５×５×５＝１２５。紧接着问：３ 与５ 相乘是多少？学上答：３×５＝１５，或５×３＝１５通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。
采用各种不同方法时还以该注意的是什么？
１独立思考与合作交流
也是思维的最高处。但班级同学间的交流合作也是不可忽视的。思维的火花往往在深入的探讨和激烈的论争中迸发。
２、注重直觉和猜想
爱因斯坦说过，在人类的创造性活动中，真正可贵的因素是直觉。直觉这个不可捉摸的生动的力量在创造的数学中总是在起作用，推动并指导着甚至最抽象的思维。我常常告诉学生要“大胆猜想，小心求证”，就是鼓励学生凭借自己的直觉和灵感，并通过猜想去验证，使他们获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
３、加强探究性问题的练习
探究性问题、开放性问题被认为是最富有教育价值的数学问题。它往往没有固定的、现成的模式可循，仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的答案的。因而，它要求我们必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，从多角度用多种思维方法进行思考和探索。探究性问题、开放性问题是培养我们探索能力和创造能力，遇到这类题目，我们应该积极思索，在练习中让自己的思维得到训练和提高。
“海阔纵鱼跃，天高任鸟飞”，愿同学们放飞思维的翅膀，在数学的世界里尽情翱翔！
４、条理分明，培养思维的严谨性
笔者有一次听一个老师一堂高年级数学课，有一道应用题，有两根钢材，一根长１２米，另一根长１８米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段的最长应是多少？ ＂该教师先让学生看一遍题，再提示＂ 就是求两数的最大公约＂ ，然后老师学生一问一答，解出此题。
我认为，就培养学生思维能力而言，这是一次数学失误。
上述应用题的解题过程，是一个用数学方法来解决实际问题的过程。而这一问题的首要一环在这一环节中要让学生思维，再造现象、抽象与概括。由此，这就是发展学生智力，培养学生能力的关键的一步。 而上述教学教师应着眼于学生思维发展，针对＂ 问题是如何转化为求
最大公约数的＂ 设计好数学过程。可教师的＂ 提示＂ 过急地跃过了这一步，从而使＂ 培养能力＂ 的目的落空。
思维就是人类揭示事物本质特征的过程，而数学就是研究在的和思维的现实或关系本质的科演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。
思维能力包括理解力、分析力、综合力、比较力、概括力、抽象力、推理力、论证力、判断力等能力。而数学思维包括形象思维、抽象思维、发散思维、创新思维、定向思维、正向思维、逆向思维、类比简化思维、特殊一般化思维、构造模型思维、归纳猜想思维、变换转化思维整体思维等思维。
该怎样培养学生的数学思维能力？
小学数学教学的重要任务是发展学生的思维能力，首先了解数学的思维类型则是有助于完成这一目标；其次要了解儿童的数学思维能力，在教学过程遵循儿童认知规律。最后明确方法确定方法。上面已经简要了解了数学思维的类型，下面看一看儿童的认知规律：
一、儿童的观察能力有较为明显的阶梯型，即——————————————
，同时应当注意观察本身的两个特征：双重性和客观性。
二、儿童比较能力是阶段性发展的，在发展他们的比较能力时要循序渐进，逐渐培养，有低层次到高层次去培养。
四、儿童的抽象和概括能力也有一定的阶段性。“前运算阶段”（低年级儿童）到“前运算阶段”（年龄稍大的儿童）发展。
五、课本１７页
培养目标（善想象、能交流、懂提问、重实践）
一，
二，
（课本）
培养的方法和途径
一、单向延展法
即以某一知识为端点，将若干项知识经过联想活动纵向组合起来，形成有
层次有过程、动态发展的思维的方法，体现出逻辑递进关系。
（一）由因导果演化延展
以果为因演化延展。如要求学生口述平面几何图形的演化过程；平面几何
图形（长方形、平行四边形、梯形、三角形）面积计算公式的推演过程。比如问：长方形的一边延长时，变成怎样的几何图形？当此几何图形的一个底逐渐缩小到一点时，变成了什么样的几何图形？
（二）由易到难逐层延展
如：⑴一班４０人，二班比一班多１０人， 二班有多少人？ ⑵一班有４０人，二班比一班多１０人，两班共有多少人？ ⑶一班二班共有９０人， 二班比一班多１０人， 两班各有多少人？ ⑷一班二班共有９０人， 从二班调５人到一班后，， 两班人数相等， 两个班原来各有多少人？ ⑸一班二班共有９０人， 从二班调３人到一班后， 二班比一班多４人， 两个班原来各有多少人？ ⑹两个班共有９０人，二班调给一班８人后，二班比一班少６人，两个班原来各有多少人？
这样的练习思考题，有目的，有针对性地训练学生的思维能力，同时，练习也能够让学生在掌握书本知识的基础上起到“举一反三”的作用，是书本知识的巩固和延伸。这种方法是依照思维递进的程序性和数学的逻辑性的统一，以及学生的认识水平，对学生思维能力的培养应由浅入深，由易到难的原则。
（三）注重逻辑推理延展。
数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，教学中注重逻辑推理能力的培养，就是很好的思维能力的培养。
如：甲车从ａ城到ｃ城，乙车从ｂ城到ｃ城，两车共行使１６２０千米， 甲车行了４／５，乙车行了３／４后，没走的路程相等。甲乙两车各行了多少千米？根据甲车行了４／５推想到甲车所行的路程平均分成了５份，行了４份，没行１份；从乙车行了３／４推想到乙车所行的路程平均分成了４份，行了３份，没行１份。从没行的路程相等推想到乙车所行路程的１份相当于甲车所行路程的１份，可知两车所行路程的和恰有这样（５＋４）份。从总路程和总份数可以推想到１份的路程ｓ１＝１６２０÷（５＋４）（千米），所以甲车所行路程是５ｓ１，乙车所行路程是４ｓ１。
二、多向延展法
即以某一知识为中心，向四面八方自由的扩展开，形成多方面、多角度
我注意引导学生沟通前后单元、此单元和彼单元的知识联系，打破知识单元的框框，促使学生在多思的过程中培养思维的灵活性和发散性。
（一） 叙述理解延展
如根据：“甲相当于乙的３／５”我要求学生改变角度叙述：“甲相当于乙的
６０℅”、“甲与乙的比是３：５ ”、“ 乙相当于甲的５／３倍”、“甲比乙少２／５”、“ 甲与乙的和相当于乙的８／５”、“甲与乙的差相当于乙的２／５”。即转化型
这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，４ 人会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。
但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成１人，显然鱼１条；然后转换成２人，则鱼有３条；再３人，则７条；再４人，则１５条。
（二） 转化基准多向延展（发散思维）
如“乙筐西瓜的个数是甲筐的３／５”：以甲筐为单位“１”，则乙是甲的几分
之几？（３／５），以乙为单位“１”，则甲是乙的几分之几？（５／３），甲比乙多多少？（ ５／３－１＝２／３）总数是乙的几分之几？ （１＋５／３）；如果以总数为单位“１”，则甲是总数的５／５＋３，乙是总数的３／５＋３等。
（三）思路辐射延展
感受解决问题策略的多样化与灵活性， 并比较不同方法的特点， 来培养学生的数学思维。如“有两人各自骑自行车行走。当甲车轮滚动４０圈时，乙车轮在同样的距离中滚动了３０圈，如果乙车轮的周长比甲车轮的周长长０．３２米， 求这段距离。”
解法一：用归一法解。先求出甲车轮旋转一周的距离，再求总距离。
０．３２×３０÷（４０－３０） ×４０．
解法二：用倍比法解。先求出甲车轮旋转１０圈的距离，再求出总距离。
０．３２×３０×〔４０÷（４０－３０） 〕．
解法三：用分数法解。以这段距离为单位“１”。
０．３２÷（１／３０－１／４０）。
解法四：用列方程求解。根据车轮滚动的距离相等关系，设甲车轮的周长为ｘ 米，那么可以列出这样的方程：
４０ｘ＝３０（ｘ＋０．３２）．
解法五：运用比例来解。根据距离一定，车轮周长与周数成反比例关系，设甲车轮的周长为ｘ 米，则
３０：４０＝ｘ：（ｘ ＋０．３２）。
解法六：根据求最小公倍数方法解。
有３０和４０的最小公倍数＝２×５×３×４＝１２０，０．３２×１２０＝３８．４（米）。
这样不仅在于传授知识，让学生学习、理解、掌握数学知识，更重要的是要培养学生灵活多变的解题思维，从而既提高教学质量，又达到培养能力、发展智力的目的。
也可以说系统型解决问题
这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９在不改变顺序前提下（即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒），在它们之间划加减号，使运算结果等于１ＯＯ 。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把１０ 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次：找１００ 的最接近数，即８９ 比１００ 仅少１１。第二个层次：找１１ 的最接近数，很明显是前面的１２。第三个层次：解决多ｌ 的问题。整个程序如下：１２＋３＋４＋５－６－７＋８９＝１００
三、反思延展法
许多教育者认为如果我们的学生有了解题后反思的良好习惯，就能很好地促进思维能力的提高，从而学好数学。解题后反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考。我在平时的教学中学习他人经验，指导学生解题后反思，在反思中训练学生思维，发展思维水平。
如：“给你一段２０厘米长的细铁丝做成不同的长方形或正方形，你能做几个？它们的面积分
别是多少？”学生通过思考，有以下几种：
长方形 长 ９厘米 宽１厘米 面积９平方厘米
长８厘米 宽２厘米 面积１６平方厘米
长７厘米 宽３厘米 面积２１平方厘米
长６厘米 宽４厘米 面积２４平方厘米
正方形 边长５厘米 面积２５平方厘米
学生做到这一步都停住了，觉得问题解决了，不再深究。如果这样，学生得到的仅仅是这道题的答案，对学生来说，思维并没有一个提高的过程。这时，老师引导学生反思：这道题里还隐藏着秘密，你有发现吗？学生通过观察、比较，发现了长方形长、宽、面积之间的新的关系。“在周长相等的情况下，长与宽的差越小，面积反而越大。”“周长相等的情况下，正方形的面积一定比长方形大。”为了思维的再深入延展，教师可以进一步引导学生再次反思：这条规律是不是只在这道题目里适用？学生通过举例、小组交流，得出了这是一条普遍存在的规律。解题后如此反思，既有利于沟通知识间的纵横联系，也使思维得到了提高。
四、破思维定势训练法
就是教师以一组一组的题目呈现，通过题组训练，打破思维定势的一种思维
训练方式。学生在用某种思维模式多次解决同类问题而形成思维定势后，再遇到相类似的新问题时，往往会出现机械套用以前思维模式的倾向，而且同一方法使用次数越多，这种倾向越明显。思维有了较多的定势，就会阻碍数学思维的发展。我常采用题组进行教学，选取的题型一般为基本题与变式题整体出现。
如基本题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份比一月份多加工１／４，二月份加工多少吨？
变式题：去年，甲厂收入比乙厂多１／５，乙厂收入１０００万元，甲厂收入多少万元？ 结构变式题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份比一月份少加工１／４，二月份加工多少吨？
叙述变式题：甲车间一月份加工食品２４０吨，二月份如果再多加工一月份加工吨数的１／４就和一月份一样多，二月份加工多少吨？
通过这样的题组练习，训练学生思维，提高思维能力，使学生不因结构的定型化而产生思维定势。
五、常规求异法
我所讲的常规求异法，不是指一题多解的求异思维训练，是指摆脱常规思维的支配，独辟溪径，既在意料之外，又在情理之中，引导学生从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决的思维训练方式。
如在培养学生空间想象能力时，我出示下题：“用１２根火柴棒摆６个相等的正方形，你能摆出来吗？”按习惯思路，学生往往在平面上摆弄，显然是无法达到题目要求的。我引导学生联想已学过的正方体的特征（１２条棱的长度相等，六个面的面积相等），学生的思路打开了，很快解决了问题，都摆出了一个正方体，找到了六个相等的正方形。
又如在新授结束后进行复习时我出了这样一道题：张师傅要加工一批零件，每小时加工２４０个，７小时完成。如果要在６小时完成， ２４０×７÷６＝２８０（个） 。觉得容易，不再思维。我在学生不再思维时，在黑板上写了这样一个算式：２４０＋２４０÷６＝２８０（个） 。问：你认为这样做对吗？请说明你的理由。许多学生傻眼了。我就引导学生思考、合作讨论。通过讨论、交流学生终于知道了这样做正确的理由，经过一番思维，体验到了常规求异法的精彩。
综上所述，在小学数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。
六、加强对比，培养学生思维的可逆性
在低年级学生作业中常见＂ 比．．．．．． 多＂ 用加，＂ 比…… 少＂ 用减的弊病。原因是学生对数学概念混淆不清，思维仍停留在表象阶段，导致理解上的偏差，致使解题思路进入误区，为了防止学生思维进入误区，我是这样做的：
１、建立＂ 多＂ 与＂ 少＂ 、＂ 大＂ 与＂ 小＂ 的概念。先出示两道填空题： （１）蜜蜂比蚂蚁（ ）， （２）蚂蚁比蜜蜂（ ） 。 学生对这种日常生活中接触的事情，已经有了感性经验，解答时都没有什么困难。然而，如何引导学生进行逆向思维，是解决低年级学生见＂ 多＂ 就知，见＂ 少＂ 就减这一弊病的 关键。我先让学生比较这两道题的含义，他们发现＂ 蜜蜂比蚂蚁大＂ 就是＂ 蚂蚁比蜜蜂小＂ 。然后，要求同桌的同学， 一个说出＂ 比……多＂ 的句子，另一个换成＂ 比．．．．．． 少＂ 的句型。通过这样的训练，学生头脑中就建立了＂ 比．．．．．． 多＂ 少＂ 这两种句型互换的概念。
２、出示两道题（１）小芳做了５朵黄花，做的红花比黄 花多３朵，红花做了几朵？ （２）小芳做了５朵黄花，做的黄花比红花少３朵，红花做了几朵？ 分别让学生板演解答，结果一样，５＋３＝８ （朵） ，为什么两道题答案相同呢？ 我让学生积极思考，互相讨论，得出一致的意义：红花比黄花多 ３朵，就是黄花比红花少３朵，意思相同，句型不一样。两 道题都是求红花朵数，是求大数，用加法计算。这样，就可以避免学生见＂ 多＂ 就加，见＂ 少＂ 就础的弊端，培养思维的可逆性。
也可以说是类比型
这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如：
①金湖粮店运来大米６吨。比运来的面粉少１／４吨、运来面粉多少吨？
②金湖粮店运来大米６吨，比运来的面粉少１／４，运来面粉多少吨？
以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。
七、． 激化型
这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。如问：３ 个５ 相加是多少？学生答：５＋５＋５＝１５ 或５×３＝１５。教师又问：３ 个５ 相乘是多少？学生答：５×５×５＝１２５。紧接着问：３ 与５ 相乘是多少？学上答：３×５＝１５，或５×３＝１５通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。
采用各种不同方法时还以该注意的是什么？
１独立思考与合作交流
也是思维的最高处。但班级同学间的交流合作也是不可忽视的。思维的火花往往在深入的探讨和激烈的论争中迸发。
２、注重直觉和猜想
爱因斯坦说过，在人类的创造性活动中，真正可贵的因素是直觉。直觉这个不可捉摸的生动的力量在创造的数学中总是在起作用，推动并指导着甚至最抽象的思维。我常常告诉学生要“大胆猜想，小心求证”，就是鼓励学生凭借自己的直觉和灵感，并通过猜想去验证，使他们获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
３、加强探究性问题的练习
探究性问题、开放性问题被认为是最富有教育价值的数学问题。它往往没有固定的、现成的模式可循，仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的答案的。因而，它要求我们必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，从多角度用多种思维方法进行思考和探索。探究性问题、开放性问题是培养我们探索能力和创造能力，遇到这类题目，我们应该积极思索，在练习中让自己的思维得到训练和提高。
“海阔纵鱼跃，天高任鸟飞”，愿同学们放飞思维的翅膀，在数学的世界里尽情翱翔！
４、条理分明，培养思维的严谨性
笔者有一次听一个老师一堂高年级数学课，有一道应用题，有两根钢材，一根长１２米，另一根长１８米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段的最长应是多少？ ＂该教师先让学生看一遍题，再提示＂ 就是求两数的最大公约＂ ，然后老师学生一问一答，解出此题。
我认为，就培养学生思维能力而言，这是一次数学失误。
上述应用题的解题过程，是一个用数学方法来解决实际问题的过程。而这一问题的首要一环在这一环节中要让学生思维，再造现象、抽象与概括。由此，这就是发展学生智力，培养学生能力的关键的一步。 而上述教学教师应着眼于学生思维发展，针对＂ 问题是如何转化为求最大公约数的＂ 设计好数学过程。可教师的＂ 提示＂ 过急地跃过了这一步，从而使＂ 培养能力＂ 的目的落空。
作文十：《数学思维》2500字数学思维，是指人们关于数学对象的理性认识过程，广义的可理解为应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。对于中学生来说，他们一般均有数年的数学学习经历，已经形成了各自独特的学习习惯，这其中有良好的习惯、也有不良的习惯。由于心理习惯和思维习惯主要是通过行为习惯表现出来的，故我们重点从中学生的行为上去窥测其习惯的表现，以便引导学生发扬其良好习惯，改变其不良习惯。目前现实中学生在数学学习的表现上，有如下几种不良的习惯表现：
１． 对学习数学兴趣不高的消极应付型；对数学学习的依赖性较强，缺乏吃苦耐劳精神，怕难怕繁，思想懒惰的懒散依赖型。
２． 不能举一反三的按部就班型；缺乏合作交流的自主封闭型。
３． 学习没有计划呈现无序状态的杂乱无章型。
上述的不良习惯，分别可归类为缺乏数学思维的积极性、缺乏数学思维的广阔性和缺乏数学思维的严谨性。这些问题不仅影响现有的数学知识学习，而且还影响着后继数学知识及其它学科的学习，也影响着学生未来的发展，所以在教学中有意识地培养学生的良好思维习惯尤为重要，
常言道：“授人于鱼，不如授人于渔”因此，数学教学的首要任务就应放在对学生思维能力的培养上。
一、精心设计，利用课堂提问，培养学生的思维能力。
（一）教师要充分发挥其主导作用，精心设疑、优选问题、启动思维。
１、应充分认识到设问是为了引导学生思维，开启学生心扉，获取反馈信息的手段，切忌故意为难学生，对于“后进生”，可提出一些浅显的问题，使其体验成功的喜悦，增强学习的信心，推动积极思维。有难度的问题，可留给成绩好的学生，以满足他们的求知欲和“跳一跳摘果子”的求胜心，这也是推动学生积极思维的又一因素。
２、要注意引导学生思维激情。最好在“最近发展区”提问，提问要与学生的智力和知识水平相适应，过易过难都不可取。创设阶梯式问题，引导学生一步步延伸，扩展思维。
（二）尊重学生，鼓励学生提问，充分调动学生主动参与的积极性。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”思维从问题开始，会提问题是独立思考的表现，在数学教学中，教师一要鼓励学生提问，不论简单与否，都给以详细回答，以保护学生自尊心；二要培养学生好奇心，奇中生疑疑中生问，追求对问题的透彻理解；三可让学生课下互问互答，培养他们自己发现问题、解决问题的能力。这样让学生在学习中充分发挥自己的主体作用，积极动脑思维，从而更加主动地去掌握、学习知识。
二、加强对教材的透彻理解，精心选材，突出重点，重视对概念的讲解，培养学生的思维能力。
苏联心理学家捷洛夫说：“一个空洞的大脑是不能进行思维的。”这就是说一切思维活动必须以丰富的知识经验为依据，以概念为基础，通过逻辑推理的方法来进行。由于数学概念是基础知识和基本技能的核心，它自然便成为数学思维活动的依据。因此，在教学活动中，教师应做到吃透教材，对教材做到胸中有数，还要了解学生的已有知识体验，讲解要突出重点、难点，由浅入深、深入浅出，语言精练、生动感人，让学生积极参与到教学活动中来，并要善于捕捉信息，及时启发学生思维，调整学生的情绪，开发学生的思路。在学生思维处于最兴奋的状态下传授知识。使学生发现规律和获得新知识，并掌据新旧知识的联系，从而达到培养学生思维能力的目的。
三、充分利用练习，指导学生勇于探索，独立思维，拓展思维空间。
第斯多惠曾经说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”教师要指导学生积极探索，大胆追求事物间的联系，培养求知欲，做到触类旁通，尤其在做题时培养学生“四会”，从而进一步增强思维能力。
一会借题发挥，找规律。借题发挥是指不局限于题目本身，而是在此基础上适当引申、扩展，把学生的思维空间拓宽，并引向深入。
二会举一反三，巧求知。教师讲题时不能就题讲题，而要能使学生做到举一反三。指出通过一道题，解决类似的一类题。
三会一题多解，多动脑。不少习题，可有多种解法，因而解完一道题后，应该鼓励学生多动脑，反思一下是否还有更好的解题途径，这样既能加强知识间的联系，又培养了学生周密思考的能力，对学生加强了发散思维的训练，一题多解后，再让学生对比选择最佳解（证）题方法，从而不仅拓展了学生的解题思路，而且培养了他们的创优意识，开拓了发散思维的空间。
四会一题多变，练能力。现在的一些题目已不再是简单的求值、证明题了，而是让解答者自己探索给出结论，再加以证明，这就要求学生能灵活变通地学知识用知识。总之，通过一题多变，使学生在寻求各种结论中，培养思维能力和创造性。
四、鼓励学生通过观察、操作、思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，强化应用意识。
在数学教学中，教师要有针对性的设计一些操作和活动。恰当的操作实践能促进学生学习，通过活动让他们积极体验思维的加工过程，有利于发展思维能力，调动学习的积极性。此外，还可以指导学生用数学知识解决实际问题，让学生感受知识与生活的联系，认识到数学的重要性，从而更加努力地去学数学，用数学，在数学这门逻辑性较强的科中逐步培养思维能力。
五、完善数学思维的广阔性，准确言语表达、精确解题过程养成数学思维严谨性的习惯。
广阔性培养的进程中积极地培养思维的严谨性必不可少，中学生由于受认知水平和心理特征等因素的限制，思维不严谨的现象常会出现，所谓考虑周密就是考虑问题全面、周密而不遗漏。这也是中学课程中要求培养的思维严谨性的习惯。学习算术根概念时，尽管他们也形式的记住：但在实际求的值时，他们会毫不犹豫的得出片面的结果。由此可见一个良好的思维习惯不是一下子就能养好的，而是要经常经过潜移默化的训练特别是要结合典型教材进行训练，使学生考虑问题逐步臻于全面、缜密。
数学教学，不仅需要教师给学生传授知识，更需要的是教师“把打开知识宝库的钥匙交给学生”。孔子说“学而不思则罔”，“思”是综合能力提高的保证。数学思维习惯的好坏，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的良好数学思维习惯是提高数学教学效益的关键。我们要有加强数学思想方法教学的意识，向学生展示自己的思维过程同时让学生积极参与思维过程，实施有效的监控，形成评价，指导学生知道如何应用学习策略提高学生自我效能感，改善不好的学习习惯，勤于练习，积极思考，善于应用，在数学教学过程中不断地挖掘和渗透，达到改善现在的学习方式并且培养良好的思维习惯。