专题简化圆锥曲线运算的几种数学思想重、难点1.重点圆锥曲线的综合问题。
2.难点 灵活使用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。【典型例题】（一）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则能够避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。例1 求已知离心率，过点（1，0）且与直线相切于点（），长轴平行于轴的椭圆方程。解把点（）看作离心率的椭圆（“点椭圆”），则与直线相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为又因为所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，所以，所求椭圆方程为（二）补集思想有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，能够达到化繁为简的目的。例2 为何值时，直线不能垂直平分抛物线的某弦。解设，直线垂直平分抛物线的某弦。若直线垂直平分抛物线的弦AB，且A，B，则，上述两式相减得即又设M是弦AB的中点，且，则因为点M在直线上，所以因为M在抛物线的内部，所以，即故原命题中的取值范围是或（三）整体思想对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。例3 从椭圆外一点P（2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。解由椭圆的切线方程知两切线的方程为又切线过点P（2，4），所以，整理得，所以，所以 所以两切线的夹角（四）方程思想把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。例4 已知双曲线C，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线相交于P点，一条以A为焦点，M（）为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设PM的斜率为，且，求实数的取值范围。解由双曲线方程知A（0，1），则抛物线方程为，由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为，又因为点P在抛物线上，所以 而MP的斜率为，所以将代入，得，即根据题意，方程在区间上有实根令，其对称轴方程为所以 所以实数的取值范围为（五）函数思想对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例5 直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。解由消去得，由题意，有设M（），则由P（）、M（）、Q（）三点共线，可求得设，则在上为减函数。所以，且所以 所以或（六）参数思想处理圆锥曲线问题，能够通过引入参变量替换，使很多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。例6 当为何实数时，椭圆与曲线C有公共点解椭圆方程变形为 设，即代入曲线C得，即（1）椭圆与曲线C有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数的值域所以因为，所以的取值范围是（七）转化思想数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。例7 设圆满足 截轴所得弦长为2； 被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。解设圆的圆心为P（），半径为，由知；由知，圆P截轴所得劣弧对应的圆心角为，即圆P截轴所得的弦长为，故有，消去得圆心的轨迹为如何求圆心P（）到直线的距离的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题。转化1变量替换求最值 设，则有，解得，，所以有 当且仅当，即时，达到最小值。此时可求得或因为，故。于是所求圆的方程是或转化2三角代换求最值令，则，所以由，得当达到最小值时，1，从而，并由此解得或即或，以下同解法1转化3判别式法求最值由得，即将代入式，整理得 把它看作的一元二次方程，因为方程有实根，故判别式非负，即，得，所以将代入，得解得从而，由，知与同号于是，所求圆的方程为或【模拟试题】（答题时间60分钟）1.已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点、距离的等比中项2.求证椭圆的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率均存有时）与此弦的斜率之积为。3.一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线相切于点P（4，3），它还经过点Q（），R（），求椭圆方程。4.两个不同的点P、Q在曲线上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线对称，求的范围。5.过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，若AB的中点为M，直线的斜率为。（1）试用表示点M的坐标；（2）若直线的斜率，且点M到直线的距离为，试确定实数的取值范围。6.已知椭圆（），A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点P（），求证。【试题答案】1.解由椭圆方程可知，并求得，离心率，准线设椭圆上轴左侧部分存有点M（）（）满足 为点M到左准线的距离则由椭圆第二定义，得因而由椭圆的焦半径公式知又 将以上各式代入中得整理得，所以或，这与相矛盾，故不存有满足条件的点M2.证明设弦两端点为A（），B（），中点为P，则由 即3.解视点P（4，3）为退化椭圆，其方程为（）由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线相切于点P的椭圆方程可设为（1）将Q、R点坐标代入（1）式得，代入椭圆方程（1）得即所求椭圆方程为4.解析从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦，用补集思想从问题的反面考虑就能够达到避繁就简的目的。解设P、Q关于直线对称若，显然曲线上没相关于直线对称的点当时，设抛物线上的两点（）、B（）关于直线对称，则消去得由，得 恒成立 ，即 故当时满足题设条件5.解（1）设直线方程，代入，得，设A（），B（），则 （2）M到的距离 ，从而或令，则，这时或 或所以的取值范围是（）6.证明设A（），B（），由可得 AB的垂直平分线与轴相交，故AB与轴不平行，即所以有 即 故