1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比拟大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法那么或几何意义运算律加法求两个向量和的运算1交换律abba.2结合律abcabc减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差abab数乘求实数与向量a的积的运算1|a||||a|；2当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0aa；aaa；abab3.共线向量定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba高频考点一平面向量的概念例1、以下命题中，正确的选项是________填序号有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，那么a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，那么A、B、C、D四点共线；两个向量不能比拟大小，但它们的模能比拟大小答案正确，向量既有大小，又有方向，不能比拟大小；向量的模均为实数，可以比拟大小【变式探究】1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即为平行向量，它们均与起点无关3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈4非零向量a与的关系是与a同方向的单位向量【变式探究】设a0为单位向量，假设a为平面内的某个向量，那么a|a|a0；假设a与a0平行，那么a|a|a0；假设a与a0平行且|a|1，那么aa0.上述命题中，假命题的个数是A0B1C2D3答案D高频考点二平面向量的线性运算例2、1设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，那么等于A.B.C.D.2在ABC中，c，b，假设点D满足2，那么等于A.bcB.cbC.bcD.bc答案1C2A解析1.22，22，32，bc.【变式探究】1在ABC中，D是AB边上的一点，假设2，，那么等于A.B.CD2在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上与点C，D不重合，假设x1x，那么x的取值范围是A.B.C.D.答案1A2D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法那么2求向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相连向量的和用三角形法那么3求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比拟求参数的值【变式探究】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，，，，那么的值为A.B.C.D.答案A解析，，，2.由向量加法的平行四边形法那么可知，，2，由E，F，K三点共线，可得，应选A.高频考点三共线定理的应用例3、设两个非零向量a与b不共线，1假设ab，2a8b，3ab，求证A、B、D三点共线；2试确定实数k，使kab和akb共线【感悟提升】1证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，假设1a2b0，当且仅当120时成立，那么向量a、b不共线【变式探究】1向量a3b，5a3b，3a3b，那么AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线2设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.假设121，2为实数，那么12的值为________答案1B2解析12a6b2a3b2，、共线，又有公共点B，A，B，D三点共线应选B.2，12，1，2，故12.高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如下图，在ABO中，，，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.【感悟提升】1此题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度2易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解3数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如此题易无视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征4方程思想是解决此题的关键，要注意体会【方法技巧】1向量的线性运算要满足三角形法那么和平行四边形法那么，做题时，要注意三角形法那么与平行四边形法那么的要素向量加法的三角形法那么要素是“首尾相接，指向终点；向量减法的三角形法那么要素是“起点重合，指向被减向量；平行四边形法那么要素是“起点重合2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论对于平面上的任一点O，，不共线，满足xyx，yR，那么P，A，B共线xy1.【易错提醒】1解决向量的概念问题要注意两点一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误【2021高考新课标2文数】向量am，4，b3，-2，且ab，那么m___________.【答案】6【解析】因为ab，所以，解得【2021高考新课标1文数】设向量ax，x1，b1，2，且a b，那么x .【答案】【解析】由题意，1.【2021高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，向量满足，，那么以下结论中正确的选项是 .写出所有正确结论得序号为单位向量；为单位向量；；；。【答案】12021辽宁卷设a，b，c是非零向量，命题p假设ab0，bc0，那么ac0，命题q假设ab，bc，那么ac，那么以下命题中真命题是Apq Bpq C綈p綈q Dp綈q【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题22021新课标全国卷 A，B，C为圆O上的三点，假设，那么与的夹角为________【答案】90【解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90.32021四川卷平面向量a1，2，b4，2，cmabmR，且c与a的夹角等于c与b的夹角，那么mA2 B1C1 D2【答案】2【解析】cmabm4，2m2，由题意知，即，即5m8，解得m2.42021江苏卷设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.假设121，2为实数，那么12的值为________【答案】52021陕西卷设a，b为向量，那么“|ab||a||b|是“ab的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由中|ab||a||b|可得，a与b同向或反向，所以ab.又因为由ab，可得|cosa，b|1，故|ab||a||b||cosa，b||a||b|，故|ab||a||b|是ab的充分必要条件62021四川卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos Bsin ABsin BcosAC.1求cos A的值；2假设a4 ，b5，求向量在方向上的投影72021四川卷在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，那么________【答案】2【解析】根据向量运算法那么，2，故2.82021重庆卷在平面上，，|OB1|||1，.假设||，那么||的取值范围是A.B.C.D.【答案】D1设O是正方形ABCD的中心，那么向量，，，是A相等的向量B平行的向量C有相同起点的向量D模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等2设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，那么以下结论中正确的选项是Aa0b0Ba0b01C|a0||b0|2D|a0b0|2答案C解析因为是单位向量，所以|a0|1，|b0|1.3在四边形ABCD中，ABCD，AB3DC，E为BC的中点，那么等于A.B.C.D.答案A解析，.4平面内一点P及ABC，假设，那么点P与ABC的位置关系是A点P在线段AB上B点P在线段BC上C点P在线段AC上D点P在ABC外部答案C解析由得，即2，所以点P在线段AC上5点O为ABC外接圆的圆心，且0，那么ABC的内角A等于A30B60C90D120答案B解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A60.6O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式，那么四边形ABCD的形状为________答案平行四边形7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，||||，那么||________.答案2解析由||||可知，，那么AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，||||2.8在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，那么____________.用a，b表示答案ab9.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解ab.ab.10设两个非零向量e1和e2不共线1如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证A、C、D三点共线；2如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值1证明e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e28e12e2，