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2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

时间:2021-10-26 13:35:45 来源:学生联盟网

2021年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准7分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、讲明评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。-、填空题此题总分值ii.复数m满足m m56分,每题7分。2021 i,那厶 m2021m1 22.设 fx cos x23sin xcosx 2 ,x2,,那么f x的值域为6 432,2才3.设等差数列 an的前n项和为Sn,假设Si50,Si60,那么i,2,,S5中最大的是Saia2ai5984.O是锐角 ABC的外心,AB 6,AC10,假设 AO xAByAC,且 2x 10y5,那么cos BAC -35.正方体ABCDAi B1C1 Di的棱长为1,O为底面ABCD的中心,M ,N分不是棱AiDi和CCi的中点.那么四面体OMNBi的体积为486 设 A B Ci,2,3,4,5,6,且 A Bi,2 ,i,2,3,4 B C ,那么符合条件的代B,C共有 i600 组注代B,C顺序不同视为不同组.7.设 y sin x cosx tan x cot x secx cscx,那么 | y | 的最小值为8 设p是给定的正偶数,集合Ap x|2pp ix 2 ,x3m,m N的所有元素的和是二、解答题此题总分值 64分,第9题i4分,第i0 题 i5分,第ii题i5分,第i2题20分。9设数列ann0满足ai2 ,am na m nm n1a2m2a2n,其中 m,n N,m ni证明对一切n N,有 an 22an i an2 -2P i 2卩 i2证明丄 -a92021证明 i在关系式am n1-a2ma2n中,令 m n,可得 a。0 ;2令n 0,可得a2m 4am 2m令m n 2,可得a2n 2a22a2n 42a2n由得a2n 24an 12n1,a2 4a12 6,a2n 44an 22n2,a2n4an2n ,代入,化简得an 22an1an2 7分2丨由an 22an 1an2得an 2an 1an 1an 2 ,故数列an 1an是首项为ai ao 2,公差为2的等差数列,因此 a.i an 2n 2 因此不定方程x 3y5z 21 满足 x 3,y2,z 1的正整数解为因此annak 1k ak 1 a。n2kk 10nn 1.因为1111n1,因此annn1nn 111111211 1 1 1 1a1a2a20213丿 II 20212021202114分10.求不定方程X1X2X33X43x55x621的正整数解的组数.解令xX2X3x,X4X5y,X6z,那么 x 3,y 2,z 1 .先考虑不定方程X3y5z21满足x 3,y 2,z 1的正整数解.X3,y2,z1,5z21 x 3y12 ,1 z 2.---------5 分当z1时,有X3y16 ,此方程满足x3,y2的正整数解为x,y10,2,7,3,4,4当z2时,有X3y11 ,此方程满足X3,y2的正整数解为x,y5,2.10 分x,y,z10,2,1,7,3,1,4,4,1,5,2,2 2 又方程X1X2 X3xx N,x 3的正整数解的组数为 Cx 1,方程X4 X5y y N,x 2的正整数解的组数为 Cy 1,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为c2c1c6c12 c3c1 c2c1 36 30 9 6 81.15 分P作抛物线1 211.抛物线C y x与直线l y kx 1没有公共点,设点 P为直线I上的动点,过2C的两条切线,A,B为切点.证明直线 AB恒过定点Q ;|PM| QM2假设点P与1中的定点Q的连线交抛物线 C于M ,N两点,证明|PN||QN|1 2证明设A X1,yi,那么y1X1 .21 2由y x得y x,因此y |x x人.因此抛物线C在A点处的切线方程为y yr x1 x x1,即y x1 x y1 .设 Px0,kx0 1,那么有 kx0 1 X0X1y1 .设 BX2,y2,同理有 kxo 1 X0X2 y .因此AB的方程为kx0 1 xx y,即X0x ky1 0,因此直线AB恒过定点Qk,1.2 PQ的方程为ykx2x k 1,与抛物线方程x k-x2联立,消去2y,得2 2kx04xx2k2X0k2X0 2k 0X0 k设 Mx3,y3,NX4,y4,那么2k22x0 2k2kx04xokX3 X4,X3X4X0 k要证PMPNQMQN ,只需证明X3 X0k X3x4 x0 x4 k2x3X4 k xX3X4 2kxo由知,2式左边一2x 4kX0kkxk2kxo22 k22x0 4kkx2kx0 4X0 k2kx0x。k 015 分故式成立,从而结论成立.12 .设a,b,c,d为正实数,且abed 4 .证明a2b2b ee2 d2d a24 a b.证明因为abed2 abb2e2 edd2aabed4a b2a be d事实上,2.22abed/ab e dbeda4,要证原不等式成立,等价于证明2 5 分b 2aee 2b dd2e Jaa 2d-a b2 -b e2 -e d2 丄d bedaa10分由柯西不等式知2 2 2 a b b c c d bed2 吐a bed a|a b| |b e| |e d| |d a |215分又由 |b e| |e d || d|a b|2|b e| |e d | |d a|24 a b由,,,可知式成立,从而原不等式成立.20 分