高尔顿（Galton）钉板实验一、问题描述Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n5。右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n1个各子，分别编号为0，1，2，，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。二、高尔顿钉板试验中的相关问题1、小球落入各个格子中的概率与频数做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i个格子的概率正好满足二项分布。设高尔顿钉板有n行钉，第n行铁钉共有n个，有（n1）个空。把这（n1）个空由左到右依次编号为i0，1，2，，n共（n1）个空。观察i0这个空，小球从这个空落下的条件是小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i0个空的概率为P（i0）C（）n0。观察i1这个空，小球从这个空落下的条件是小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i1个空的概率为P（i1）C（）n-11。小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为P（i）C（）n-ii（i0，1，2，，n）。故，当一个一个从顶部放入k个小球，低槽中各格的理论频数为hikPi,i0,1,2,，n.2、程序运行 2.1 基本功能 输入小球数k、概率p; 计算高尔顿钉板n4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的实验小球数； 计算高尔顿钉板n4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的理论小球数； 动画演示每个小球下落路径及底槽各格小球数频率增长情况； 画出落入底槽各格中的实验小球数频率的柱状图； 画出落入底槽各格中的实验小球数、落入底槽各格中的理论实验小球数的频率曲线图； 关闭。
2.2 图形界面 2.3 程序使用方法 打开ex01.fig； 填写“输入球数”、“输入p值”，点击求值运行； 实验值一栏显示为落入底槽各格中的实验小球数，理论值一栏显示为落入底槽各格中的理论小球数； 界面动画演示小球下落路径； 红线代表落入底槽各格中的实验小球频率分布，绿线代表落入底槽各格中的理论小球频率分布，便于比较； 多次点击“求值”按钮，可得到多组实验数据； 单击“关闭”按钮，可退出程序窗口。2.4 运行结果 （1）动画演示小球数k500 p0.3 （2）小球数k500 p0.5 由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，但存在较大误差。（3）小球数k5000 p0.5由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，误差相对（1）有所减小。（4）小球数k50000 p0.5由（2）、（3）、（4）运行结果我们可以看出，随着小球数的增加，实验值与理论值越来越符合，小球落入底槽各格中的概率也愈加符合二项分布、各格小球数符合正态分布。（5）小球数k500 p0.1（6）小球数k500 p0.32.5卡方检验由2.4（2）运行结果知p0.0625,0.25,0.375,0.25,0.0625;v31.25,125,187.5,125,31.25;function kfp0.0625,0.25,0.375,0.25,0.0625;V31.25,125,187.5,125,31.25; for i15 V0; Viv1,i-k*p1,i2/k*p1,i; VVVi; end运行结果与9.488相比，可得到V9.488,因此验证所实验分布服从B（4，p）。3、matlab模拟Poisson分布与几何分布 3.1 Poisson分布 3.1.1高尔顿钉板模拟Poisson分布 数学原理对于参数n,p二项分布，当n很大p很小，近似于n*p为参数的泊松分布。
取n50000，p0.3 3.1.2时间间隔序列模拟Poisson分布 数学原理在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率 或称密度随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程,Tn是由 random（exponential,）生成，Tn间相互独立。
程序内容 function Poisson2;Tmax50;i1;T1randomexponential,; 产生服从参数为的指数分布随机数T1whileTiTmax Ti1Tirandomexponential,; ii1;endTiTmax; x01i;w10;for p1i wp1Tp;endstairsw,x; 运行结果 3.2模拟几何分布 数学原理 几何分布可定义为n次伯努利实验中，实验k次才得到第一次成功的概率。在高尔顿钉板试验中，我们可以认为是第m（m1,2，3，，n）个小球第一次落入第i（i0,1,2,3,4）个底槽中的概率。四、参考资料与任务分配1、参考资料【1】数学实验 焦光虹主编 科学技术出版社【2】MATLAB语言与数学建模 曾建军 李世行等编著 安徽大学出版社【3】概率论与数理统计 哈尔滨工业大学数学系组编 科学出版社【4】高尔顿（Galton）数理统计【5】高尔顿钉板实验的算法实现与分析 聂燕著 中国民航飞行学院学报 May.2008 Vol.19 No.3五、总结我们所编高尔顿钉板matlab程序基本满足实验要求，可以通过改变小球数k值、概率p值，从而得到不同情况下底槽各格中小球的分布情况，并与理论值相比较，对实验结果的正确与否进行验证。同时，程序也给出了底槽各格中实验小球数与理论小球数的频率分布曲线，从而可以对其有更直观地认识。但我们的程序也有明显的缺点，如程序只给出了试验所要求的高尔顿钉板的层数n程序中n4,不能进一步模拟得到更多的数据，程序给出小球下落轨迹的动画演示但当小球数很多时程序运行时间很长，程序编学较为繁琐等。通过该次实验，我们对数学实验这一课程有了进一步的了解与掌握，对于matlab程序的编学、matlab语言的应用有了更加深刻地体会，同时我们在实际问题在应用数学知识的能力得到加强。9兰花书屋