圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义1第一定义中要重视“括号内的限制条件 椭圆中，与两个定点 F1 ,F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段 F1F2 ,当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1 ,F2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a一定要小于|F 1 f2 |，定义中的“绝对值与 2a |F 1 f2 |不可无视。假设2a |F 1f2 |，那么轨迹是以F1 ,f2为端点的两条射线，假设 2a |F 1f2 |，那么轨迹不存在。假设去掉定 义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A .2C.PFj |PF10如1定点F1 3,0,F2 3,0，在满足以下条PF1I |PF24 B .PF1I |PF2 I12答C ; 2 方程PF1PF22-,x 62 y2； x 62 y28表示的曲线是2第二定义 中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线为分母，其商即是离心率 点到相应准线距离间的关系，2及抛物线y 上一动点42.圆锥曲线的标准方程 位置的方程答双曲线的左支，且“点点距为分子、点线距e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此 要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如点Q2、一 2 ,0Px,y ,那么y|PQ|的最小值是答2标准方程是指中心顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标准21椭圆焦点在x轴上时务a2 中 为参数，焦点在y轴上时笃 a2与 1 a b b22x芦1 充要条件是什么 ABO 0，且A,B,C同号,AM B。x acos y bsi n参数方程，其示椭圆，那么k的取值范围为那么x y的最大值是1答3,-U222,x y的最小值是_22双曲线焦点在x轴上务a0 。方程 Ax2 By2如1方程C表示椭圆的1,2 ； 2 假设 x,y2答5,2 2 22 2R，且 3x 2y占1 ,焦点在y轴上丫2 ba方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么 ABCM 0,且A,5x2线的离心率等于5，且与椭圆29x22 1 a 0,b b2B异号。如11有公共焦点，那么该双曲线的方程0 。双曲答2x 2 y 1 ； 2设中心在坐标原点4C过点P4,J10，那么C的方程为3抛物线开口向右时2x焦占八、八、、F1、F2在坐标轴上，离心率 e2的双曲线y2 622y 2px p 0，开口向左时 y 2pxp 时 x2 2pyp 0，开口向下时 x22 pyp 0。3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程，然后再判断1椭圆由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2 2X - 1表示焦点在y轴上的椭圆，那么 m的取值范围是答12 m答0，开口向上如方程2 双曲线由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3 抛物线焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先 要判断开口方向；2在椭圆中，a最大，a24.圆锥曲线的几何性质2以笃ac,0；b2 c2，在双曲线中，c最大,土屯2ca2b2。1椭圆隹占两个隹占八、八 、rI 八、八 、2爲 1 a b 0 b对称性两条对称轴为例范围a x a,y b X 0,y 0,点a,0,0,b，其中长轴长为2a，短轴长为0,0,四个顶2ac2xe越大，椭圆越扁。如1假设椭圆 52b 准线一个对称中心两条准线x离心亠 c率e ，椭圆 0 e 1 ,e越小，椭圆越圆；aJ1025的离心率e -，那么m的值是 答3或53三角形的面积最大值为 1时，那么椭圆长轴的最小值为 _ 答2、.2 X2 y22双曲线以飞1 a 0,b0 为例范围x a或xa2焦点两个焦点c,0;顶点a,0，其中实轴长为；2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的a,y R;轴双曲线,其方程可设为X2双曲线b2对称性两条对称轴 x 0,y 0,个对称中心2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，2ack,k 0 准线两条准线x；离心率e -，cae 2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐0,0,两个称为等近线答y2e 1，等轴双曲线K-X。如1 双曲线的渐近线方程是a3x 2y 0,那么该双曲线的离心率等于G3或13 ； 2双曲线ax2231x2答4或丄；3设双曲线务4a2by21的离心率为渐近线夹角B的取值范围是2y_b21 a0,b0 中，离心率e ,2 ,2,贝U两条答才尹;23抛物线以y 2pxp 0为例范围x 0,y其中p的几何意义是焦点到准线的距离；对称性一条对称轴有一个顶点0,0 ;准线一条准线x,离心率设 a0,aR，那么抛物线y24ax的焦点坐标为答R 焦点一个焦点2y 0，没有对称中心，只c，抛物线a0,；16a5、点PX,y0和椭圆21 ab2的关系1 点Px0,y0在椭圆外2X02a21 ； 2点PX0,y在椭圆上b2Xo2a2y02 1; 3点PX0,y在椭圆内 b2 2X。
y,-T 1a b6 直线与圆锥曲线的位置关系 1相交0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如1假设直线...2 2 .ykx2与双曲线x -y 6的右支有两个不冋的交点，那么k的取值范围是答-15x2,-1 ;2直线ykx 仁0与椭圆 21恒有公共点，那么m的取值范围是352m2答 1 ,5U 5,8; 3过双曲线1y21的右焦点直线交双曲线于AB两点，假设1 AB| 4,那么这样的直线有条答3；2相切0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；3相离0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与2 2抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；2过双曲线务每1外一点a bPX0,y。的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条一条是与另一渐近1过点2,4过点0,2与双4、5、；3线平行的直线，一条是切线； P为原点时不存在这样的直线；3过抛物线外一点总有三条 直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线。如答2; 2作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有2曲线-92161有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为3过双曲线的直线I有21的右焦点作直线I交双曲线于 A、B两点,2条答3; 4对于抛物线C y2x2假设AB4,那么满足条件在抛物线的内部，假设点 Mx,y。在抛物线的内部，位置关系是 答相离；5过抛物线的点 Mx,y2x x与抛物线 Cy2 4x的焦点F作一直线交抛物线于P、2 2x y4x ,我们称满足那么直线I yy2yo2 4xo1 i两点，假设线段PF与FQ的长分别是p、q，那么- 丄 答；6设双曲线p q169的右焦点为F ,右准线为I ,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R，那么 PFR和 QFR的大小关系为 填大于、小于或等于 答等于；7求椭圆8 1328上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离答 ；8直线y ax 1与13y 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上当2 27x2 4y2双曲线3x2a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点答3,3 a 1;7、焦半径圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离的计算方法利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
如12 2椭圆 I1上一点P到椭圆左焦点的距离为 3，那么点P到右准线的距离为2516答35;2抛物线方程为y2 8x，假设抛物线上一点到 y轴的距离等于3的焦点的距离等于5,那么它到抛物线3假设该抛物线上的点2 2 答 7,2,4; 4点 P 在椭圆 Z259答25;12M到焦点的距离是4,那么点M的坐标为1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标为5抛物线y22x上的两点 A B到焦点的距离和是5,那么线段AB的中点到y轴的距离为答 2；点P1,1 ,F为右焦点，在椭圆上有一点M使MP答琴，1;8、焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点X2S，那么在椭圆ar1,r2，焦点 F1PF2的面积为2 y b22MF2 26椭圆-y 1内有一43之值最小，那么点 M的坐标为问题常利用第一定Px。,y。到两焦点F1,F2的距离分别为2b2arccos 1，且当1 中,r1 r2即P为短轴端点时,最大为 m axarccos.2 2b c2a2s btan-心，当|y| b即P为短轴端点时,Smax的最大值为be；对于双曲线2y1的焦点三角形有 arccos 1 竺1； Sr1 r2 sin2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，那么答2b cot 。如1短轴长为2PF22x96; 2设P是等轴双曲线x2 y2 a2a 0右支上一点,F1 F20 ,|PF1|6，那么该双曲线的方程为2答ABF2的周长为F1、F2是左右焦点，假设2 ..y 4 ; 3椭圆 1的焦点为P、F2,点P为椭圆上的动点，当PF2 PF1 04时,点P的横坐标的取值315 3需答,;4双曲线的虚轴长为55F、F2是它的左右焦点，假设过F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且AB是AF2与BF2 答8,2 ； 5双曲线的离心率为 2,R、F2是左右 12 3 求该双曲线的标准方程答范围是A、B等差中项，那么 AB 64,离心率e,2焦点，P为双曲线上一点，且F1PF2 60 ,S22x y1;4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，那么/ AMFZ BMF 3设AB为焦点弦,PF1F2A B在准线上的射影分别为 A1，B1，假设P为A1B1的中点，贝U PAI PB 4假设AO的延长线交 准线于C,那么BC平行于x轴，反之，三点共线。10、弦长公式假设直线y kx.1 k2横坐标，那么ABXi假设过 B点平行于x轴的直线交准线于 C点，贝U A,O,Cb与圆锥曲线相交于两点 A B,且x,,x2分别为A、B的x2 ，假设y1,y2分别为A、B的纵坐标，贝V AB 1 k2 y1地，焦点弦过焦点的弦焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如1过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A X1，y1 ，B X2，y2两点，假设X1X26，那么|AB|等于 答8;2过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，|AB|10，O为坐标原点，那么 ABC重心的横 坐标为 答3;11、圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理2Xa22yy2 ,假设弦AB所在直线方程设为x ky b，那么AB J1 k21yiy2。特别椭圆2当 1中，以Px,y为中点的弦所在直线的斜率b1中，以PXo,yo为中点的弦所在直线的斜率或“点差法b2x。k a y。b2X0ka y。求解。在;在双曲线在抛物线2pxp 0中，以Px,y为中点的弦所在直线的斜率k。如1如果椭圆y。2X362-1弦被点 A 4，2平分，那么这条弦所在的直线方程是9答2xx 2y 80; 2直线y x1与椭圆飞a2y21a b 0相交于A、B两点，且b2线段AB的中点在直线 L x 2y0上，那么此椭圆的离心率为答一2 3试确2定m的取值范围，使得椭圆2上1上有不同的两点关于直线y 4x m对称答32.13 2.13 、,;1313特别提醒因为 称问题时，务必别忘了检验12.你了解以下结论吗_ 2双曲线乙 y_b2122x2 a2 yb20是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对 0 1的渐近线方程为2 a-x为渐近线即与双曲线a为参数，丰0。如与双曲线2X2a2X2a2X92y_b22 y b22工16共渐近线的双曲线方程为1有共同的渐近线,且过点32 3的央 4x2答93中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为双曲线方程为2mx2 .ny 1;2b 2，焦准距焦点到相应a4椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦为b2准线的距离为，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ； c通径是所有焦点弦过焦点的弦中最短的弦；假设抛物线y 2 px p56 | AB|X1X2p X-|X2假设OA 0B是过抛物线2p,07经过定点13.动点轨迹方程0的焦点弦为AB,人捲，,BX2,y2，那么2p,y242y 2pxp0顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线AB恒1 求轨迹方程的步骤建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2 求轨迹方程的常用方法 直接法直接利用条件建立X,y之间的关系Fx,y 0 ;如动点P到定点F1,0和直线x 3的距离之和等于 4,求P的轨迹方程.答y212x 43 x 4或2y 4x0 x 3； 待定系数法所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点 Mm,0 m 0，端点A、B到 x轴距离之积为2m以X轴为对称轴，过 A O B三点作抛物线，那么此抛物线方程为 答y2 2x； 定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如1由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA PB,切点分别为A B,/ APB60,那么动点P的轨迹方程为 答x2 y2 4 ； 2点M与点F4,0的距离比它到直线I X 5 0的距离小于1,那么点M的轨迹方程是 答寸16x ； 一动圆与两圆O M x2 y2 1和O N x2 y2 8x 12 0都外切，那么动圆圆心的轨 迹为 答双曲线的一支； 代入转移法动点 Px,y依赖于另一动点 Qx0,y0的变化而变化，并且 Q,y0又在某曲线上，那么可先用x,y的代数式表示X,y0，再将x0,y0代入曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y 2x21上任一点，定点为 A0,1,点M分PA所成的比为2,那么M的轨迹方程为 答y 6x2 1 ；3参数法当动点 Px,y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。如1 AB是圆O的直径，且|AB|2 a,M为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为N,在OM上取点P，使2 2 2 2|OP||MN|，求点 P 的轨迹。答x y a|y| ； 2假设点 Pg,在圆 x y 1 一一 2 1上运动，那么点Qx1y1,X1 yj的轨迹方程是 答 y 2x 1| x | ； 3过抛物 线x2 4y的焦点F作直线I交抛物线于 A B两点，那么弦AB的中点M的轨迹方程是 答 x2 2y 2 ；注意如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子2 2转化。如椭圆 笃 每 1a b 0的左、右焦点分别是F1 - c,0、F2 c,0,Qa2 b2是椭圆外的动点，满足|FiQ| 2a.点P是线段FiQ与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且ft-Q满足PT TF2 0,|TF2 | 0.1 设x为点P的横坐标，证明| Ff| a x ; 2求点T a的轨迹C的方程；3试问在点T的轨迹C上，是否存在点 M使厶FiMF的面积Sb2.假设存 在，求/ FiMF的正切值；假设不存在，请说明理由 .答1略；2 x2 y2 a2 ; 3当a时不存在；当b2ca时存在，此时/ FiMF 2曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性的影响在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质数形结合 如角平分线的双“分类重身份一一对称性、利用到角公式、“方程与函数性质化解析几何问题为代数问题、讨论思想化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ，那么可选择应用“斜率或向量为桥 梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容1给出直线的方向向量 u 1,k或u m,n ；给出OA3给出PM4给出APOB与AB相交，等于OA OB过AB的中点；PN 0,等于P是MN的中点；BQ ,等于P,Q与AB的中点三点共线；AQ BP给出以下情形之一uuuOAuuur1,使 OCAB // AC ;存在实数，使AB AC ;假设存在实数uuuOB ,等于代B,C三点共线.6给出OP OA1 给出MA MBOB,等于P是AB的定比分点,为定比，即AP PB0 ,等于MA MB ,即AMB是直角，给出MA MB角，0,等于AMB是钝角，给出MA MB m0,等于AMB是锐8给出MA MBMA MBMP ,等于MP是 AMB的平分线。9 在平行四边形ABCD中，给出AB AD AB AD 0 ,等于ABCD是 菱形；uuu uur uuu uuur10 在平行四边形 ABCD中，给出|AB AD | | AB AD |，等于 ABCD是矩形； 2 2 211 在 ABC中，给出OA OB OC，等于O是 ABC的外心三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；12 在 ABC中，给出OA OB OC 0 ,等于 O是 ABC的重心三角形 的重心是三角形三条中线的交点；13 在 ABC中，给出OA OB OB OC OC OA，等于O是 ABC的垂心三角形的垂心是三角形三条高的交点；uunuiu14 在 abc中，给出 Op Oa uuB AC R 等于 AP通过|AB| |AC|ABC的内心;角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；uur 1 uuu uuur16在 ABC中，给出AD AB AC ,等于AD是 ABC中BC边的中线；2