求数列通项公式的常用方法、累加法1 .适用于累加法是最根本的二个方法之一一oan fn这是广义的等差数列2.解题步骤假设an1 afnn2，a a 贝 Ua3 a2an 1f1 f2 Lfn两边分别相加得nan 1 a1fnk 1an例1 数列an满足an1 an 2n 1,a1 1 ,求数列 的通项公式。解由aan 2n 1 得 an 1 a.2n 1 贝an an222an 1 an 1 an 2 La3 a2a2 aj1 1 2 n 2 1 L 2 2 12 11 n 2 L 2 1 n 1 11nn 1 1nnn2n 1n 1 12na11所以数列an的通项公式为练习.数列an满足a1 3 ,a 此数列的通项公式.1 n 2 nn 1答案裂项求和an评注ai a,an 1 an fn，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 an.假设fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 假设fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 假设fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 假设fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1-适用于an 1 fnan 这是广义的等比数列,累乘法是最根本的二个方法之二。2 解题步骤假设空 fn,那么-f1,- f2,L L ,邑 fn ana1a2an两边分别相乘得，加a,n fka1k 1例2数列an满足an1 2n 15n ，印3，求数列an的通项公式。解因为 an1 2n15nan，a13，所以an0，那么a n 1n亠 2n 15n ananan 1anLa3 a2an 1 an 2a a故2 n 115n12n 215 2 L 22 152211 51 32n 1nn 1 L 3 2 5n 1 n 2 L 21 3nn 13 2n 1 5丁 n所以数列an的通项公式为an 3 2n 1 5咛n.练习 .an 1 nan n 1,a1 1,求数列 an 的通项 公式答案 an n 1 a1 1-1.评注此题解题的关键是把原来的递推关 系式 an 1 nan n 1,转化为an 1 1 nan 1,假设令 bn an 1 ,那么问题进一步转化 为b-叽形式，进而应用累乘法求出数列的通 项公式 .三、待定系数法 适用于 an 1 qan f n根本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数 集的一个函数。.形女口 an 1 can d，c 0,其中 ai a型1 假设c1时，数列辭为等差数列；2 假设d0时，数列an为等比数列；3 假设c 1且d 0时，数列a为线性递推数 列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来 求.解题步骤设 an 1can ，得 an 1 can c 1与题设 1 d比较系数得C Dd，所以C,c 0，所以有ancac 1a dd因此数列n c构成以a1厂为首项，以c 为公比的等比数列，d / d n 1所以an厂佝冷c即dn 1dan 例3数列an中，a,1,an 2a 1 1n 2，求数列a 的通项公式。解Q an2an 1 1n 2,an 12an 1 1又Qa 12,a 1是首项为2,公比为2的等比 数列an 1 2n，即 a 2n 1C11练习数列an中，a1 2，an1 2an 2,求通项an答案2形如an1 p an qn 其中q是常数,且 n 0,1 假设P1时，即am Tn，累加即可.假设 P 1 时，即ani P an qn ,求通项方法有以下三种方向i.两边同除以Pn1.目的是把所求数列构造 成等差数列即瞎即丄与人bn半血宀1 bn丄即 p q p q 令 p ，贝p q ，然后累加求通项nq1ii.两边同除以 造成等差数列。目的是把所求数列构an 1n 1qbnq1q，然后转化为即令un qn，那么可化为待定系数法第一种情况来解。iii.待定系数法目的是把所求数列构造 成等差数列设a1 q1 PaP.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意应用待定系数法时，要求P q，否那么待定系数法会失效。例4 数列a满足时细43n1,a1 1，求数列an的通项公式。解法一待定系数法设an1 l3 2a 31,比较系数得i 4,2 2 ,那么数列 431是首项为ai 4 31 5,公比为2 的等比数列，所以 an 4 3n1 5 2n1，即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二两边同除以qn1两边同时除以 an 12 an 43n1得莎苕衣，下面解法略解法三两边同除以P1两边同时除以 an1 an 4/3、n2n1得盯歹32，下面解法略3 .形如an1 Pan kn b其中k,b是常数，且k 0待定系数法解题步骤通过凑配可转化为比较系数求x、y;解得数列 公式；得数列a的通项公式。anan xn y pa.1axnxn 1 yy的通项3例5 .在数列an中，a1 2,2anan.待定系数法解原递推式可化为an6n3,求通项2an xn yx n 1 y比较系数可得x-6,y9上式即为2bn bni9 所以bn是一个等比数列，首项b1 a1 6n 9 2 ,公比为 2。
bn 2F1即an 6n 9 9 ,故1an 9 n 6n 9练习在数列逐项相减法角军 an 1 3a n两式相减得bn 3bn 12a2n,中，ai1,a3an2n,求通项an.3 an2时，2.令b3a2n 1，那么知 bn 5 3 2an 1再由累加法可得5 3n1253亦可联立解出a4 形如是常数，且aa n 1 pann2其中a,b,c0根本思路是转化为等比数列，而数列的本 质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函 数。例6 数列a满足a,2an 3n2 4n 5,a,1，求数列an的通项公式。解设 an 1 xn 122yn 1 z 2an xn yn z比较系数得x 3,y 10,z 18 ,所以 an 1 3n 12 10 n 1 18 2an 3n2 10n 18由 a13 1210 1 181 31320，得 an 3n2 10n 18 0那么 a1 3n312218 2，故数列an 3n2 10n 18为以an 3n 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数 列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1 ，那么 an 2n4 3n2 10n 18。5.形如a 2 pa 1 qa时将a作为f n求解分析原递推式可化为an 2 an,p an,an的形 式，比较系数可求得，数列am 为等比数 列。例7 数列an满足an2 5an1 6 1,a2 2，求数 列an的通项公式。解设an 2an 15an 1an比较系数得3或2，不妨取2，取-3结果形式可能不同，但本质相同那么an 2 2an 1 3an 1 2an，贝H an 1 2an是首项为 4，公比为 3的等比数列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 1 5 2n 1练习.数列an中，假设31 8,32 2,且满足9n2 4an1 3an 0 求an.答案a 11 3.四、不动点法目的是将递推数列转化为等比差数列 的方法不动点的定义函数fx的定义域为D，假设存 在fxXo D，使fXo X。成立，那么称X为fx的不动点 或称Xo,fXo为函数fx的不动点。分析由fx X求出不动点Xo，在递推公式两 边同时减去Xo，再变形求解。类型一形如an 1 qan d例8数列an中，a1 1,an 2如1 1n 2，求数列K的通项公式。解递推关系是对应得递归函数为fx 2X 1，由 fx X得，不动点为-1 an 112an 1，类型二形如an1 aan bc an d分析递归函数为心c x d1 假设有两个相异的不动点关系式两边分别减去不动点 除得3，其中k U，an 1 q an qa qc 72 假设有两个相同的不动点p，然后用1除，得系式两边减去不动点 k，其中k空。p,q时，将递归 p,q，再将两式相 ..a q pqkn1 p pqn pkn 1 qp，那么将递归关an 1 p an pa d詐,求数列 项公式答案an汨 分析此类问题常用参数法化等比数列求解 解对等式两端同时加参数t,得7t 42t 5an 7t 2t 5an 厂2an 7例9.设数列an满足al 2,an 1an的通an 1 t5an 42an72an 77t 42t 5解之得t1,-2an 112t5-2a nc an 1an 23an 1292an 7 2an 7an 11 1 an 1an 1 2 3 an 2,即汁是首项为公比为丄的等比数列，34 3n 12an 4 3n 11 .相除得an -a n111 n_ 3an24a11a12,解得an的通项答案an13 5n10n 6五、对数变换法pan其中p,r为常数型 例10.设正项数列 求数列an的通项公式 解两边取对数得 设 b log2 1，那么 的等比数列，log2n 2n1 1a2练习数列a-中，列a-的通项公式.适用于an1bn2bnd log1c2n 11nn满足a1logp0，an 02n 2an n 2.1 2logbn 1an12log 2n 1 2log2n1 1是以2为公比2n 1 log2n 1 2n 12石n2,求数2 22 n答案an 2六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例11数列an满足2an.an 1c，a1 1an 2，求数列an的通项公式解求倒数得丄2丄an 12 an1an 111 1 1an2an 1 an为等差数列，首项丄1,公差为a11 1an2n 1，七、阶差法逐项相减法1、递推公式中既有Sn，又有an分析把关系通过a,S，ns1 n 2转化为数Sn Sn 1，n 2 列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求 解。例12 数列an的各项均为正数，且前 n 项和Sn满足Sn a 10,2，且82,84,89成等比数列，求 数列an的通项公式。解对任意n N有Sn扣1an 2当 n 1 时，Sa,扣 1a,2，解得 1 或 a,267当 n 2 时，Sn1 1an1 1an 1 26-整理得a aia a 3 0T 3各项均为正数，.Ian a 3当ai 1时，an 3n 2，此时a a2a9成立当ai 2时，an 3n 1，此时a； aa9不成立，故a 2舍去 所以an 3n 2练习.数列an中，an 0且SnGn F ,求数列an的通项公式.答案Sn Sni an佃 1 2 何 12an 2n 1