习题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。71a M x M 0EJy M 0 1 2EJy M 0 x C EJyM 0 x2 Cx D2 边界条件 x 0 时 y 0 ； y 0代入上面方程可求得 CD0by 1 M 0 x22EJ 01BM 0lM xEJql x22E1JM0 x1 yB2EJyM0l22ql22 qx qlx212qlx2qx2ql2223 qx12ql x1qlx2C2261 2 2134qx4Cxql 2x2qlx34624EJyEJyEJyD边界条件 x 0 时 y 0 ； y 0代入上面方程可求得 CD0c1 1 2 2 y ql 2x2EJ 4 1 1y - qlEJ 2-1 3B ql B 6EJ2x13qlx612qlx2-1yB qlB 8EJMxqx12qx llx4qx424136qx3q0 l6lEJy q0 l x 36lEJyq0 l x 4 C24lEJy q0 l x 5 Cx D120l边界条件 x 0 时 y 0 ； y 0d代入上面方程可求得q0l424lD q0l5120lq0 l x 5 q0l4 x120l EJ24lEJ2q0 x 10l3 10l 2 5lx2 x3 120lEJq0l3q0l424EJyB30EJq0l120lEJM xPaPxEJyPaPxEJyPax1 Px2 C2EJy1Pax2 1 32Px3 Cx D26边界条件 x 0 时 y 0 ； y 0代入上面方程可求得 CD0112 1 3yPaxPxEJ 261 y1PaxPx2EJ2Pa3Pa25Pa3yByCCgaga3EJ2EJ6EJPa2B2EJe3a2qg3a2xaM x 2q 2a2 xax23a2EJy1qg3a2qaxEJy1qa3a x12x2C122M x1qax 02aqa34a x2 61 x3 C1x D1EJy1边界条件x 0 时 y 0 ； y 0代入上面方程可求得 CD0y12qax2 18a 4xqax24EJ12EJfEJy2EJy2边界条件M x1M x2EJy1EJy1EJy1122q2a21 q4a2x212q2ax a 时代入上面方程可求得y2yB边界条件4axx22ax222x ax3y1C233 C24x C2 x D212y29a2D24 qa 24q416x4384EJ41 qa424 EJ37 qa128ax322384a2x264a 3 16a4 ax 2aEJ5qa225qa222qax2qax2qx2qa5x 2a5a222ax5a2x2ax13x6C15a2x41ax31x24C1xD1x0时y代入上面方程可求得 C1D10EJy2q2a2axEJy2q2a2x12ax 2C2EJy222qa2x213 ax6 C2x D2边界条件 x a时y1 y2 ；C29a3D24 a62471 qa4y124 EJ13 qa3y26 EJ7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角 大挠度，梁的抗弯刚度 EI 为常量。A和B，跨度中点的挠度和最7-2a 解M xx lEJyM xM0 xM 0 2 x2lM 0 3x6l边界条件 xEJyEJyM0l2y 6EJCxM0l26EJxl3y 0 时，可得y0y03x2l3D0M0lC6l ；此时挠度最大M 0l 29 3EJ中点挠度 yM0l2M0l16EJM0lB3EJ b）解 设中点为 C点，则分析 CB段6EJM x1M0 xlEJy1M xM0 x lEJy1EJy1边界条件M 0 2x2lM 0 3x6lx0Cx Dy0y0M0l可得最大挠度c）解M 0 x3 lx6EJ l 42 M 0 3x2 y 6EJM0l272 3EJM0l24EJEJyql0 xEJy2q0 x2CEJy2l3 q0 x3CxDEJy6l4 q0 x4Cx2Dx24l5 q0 x2Cx3Dx2EJy120l62x0y0Cq0ly0D0A67q0l3B0360 q0 x44AAxlx2边界条件y360lEJ yq0360lEJ15x430l2x2最大挠度153EJ7q0l3360EJq0l345EJM0l24EJy0y 00.5193l d 解C1D1EJy2ql23xxl826x0y1 0 ;x l 2y1 y2边界条件C2C2x D2x0y20 x l 2y1y9ql33840D117ql3384ql4384M x13qlx8qx2 l0 x22lM x2ql lxxl82EJy13qlx2qx282EJy13qlx23 qxC1166EJy13qlx34 qxC1x D14824EJy2ql l8xql2 xEJy2lxC282y1384qExJ 9l3 24lx2 16x3 0 x 23 17l 2x 24lx2 8x3 x lql384EJ3 2 2 3 l41ql41536EJ x 0.25l 45ql 4768EJ128EJ 7ql3384EJ7-3 已知下列各梁的抗弯刚度 EI 为常量，试用初参数法求各梁的挠曲线方程，并计 算 C、yC、及 D、yD 。7-4 计算下列铰接梁在 C处的挠度，设梁的抗弯刚度 EI 为常量。a2aM332CCBME33解cy4a4qaq1E3解y cgayDCD33E解PCCAPgay333EJ7-5 门式起重机横梁由 4根 36a工字钢组成如图所示，梁的两端均可视为铰支，钢的 弹性模量 E210Gpa。试计算当集中载荷 P176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度 yC。解查自重得 q 587.02 N / m4J 15760cm4fPl3 5ql 4f48EJ 384EJ176 103 11348 210 109 15760 10 8 4 587.02 5 114 98385 210 109 15760 10 8 40.0377m 3.77cm7-6 松木桁条的横截面为圆形，跨长为 l 4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为q3 kN/m 的均布载荷。已知松木的许用应力 10MPa，弹性模量 E 103Mpa。此桁条的 容许挠度 y l /200 ，试求此桁条横截面所需的直径。4解此松木条的最大挠度为5 ql384 EJ所以 5 ql 4l384 EJ 2005384 M W331.82 103 43 64 2001101.689MPa0.0061797-7a 解-所以取 d 4 0.006179 0.28m试用虚梁法求图示悬臂梁自由端 B的 B和 yB。2lPl32Pl32 Pl122BPllB 2EJ335Pl218EJ1122yBPlB EJ233318Pl381EJ2EJ 3 31 41 112 2l l Pl l l3 92 333 9b 解1112BEJqa a32yB112qa2 aaEJ327-8 试用虚梁法求图示简支梁跨中挠度6EJ3a b14 qaqa3b4EJ869qa3yC 。解Pa Pa2yC3 Pa2g2a21 Paga2Pagaa12 EJ14P 3a6EJ7-9 图示简支梁中段受均布载荷 q作用，试用叠加法计算梁跨度中点C的挠度 yC ，梁 的抗弯刚度 EI 为常数。解3 qb b a3EJ4 2 2 5qb qa b 24EJ EJqb3 a a 6EJ 3 qa b 3EJqb48EJ35qab6EJ7-10 用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设 EI 为常量。a 解yC2 qa 2a16EJ12qa 2a42qa4a3EJ8EJ5q24EJqa 2ayC1qa22a332qaqa3EJ6EJ4EJ34aqa lqaqa 3a3 4a2l l 36EJ8EJ24EJ216EJ24EJql3123 qa l qa3 2 6EJ 3EJ24qEaJ 4a2l 4a3 l3b 解ql324EJ7-11 用叠加法求图示悬臂梁中点处的挠度yC ，和自由端的挠度 yB ，EI 为常量。解433l 4 3l 34 q q 4 ql4 4 4l2399ql 443 l3ql lq242173222l ql 2 297ql4CC 8EJ 3EJ2EJ768EJyCC 3EJ8EJ6EJ46144EJ7-12 外伸梁受力及尺寸如图示，欲使集中力P作用点处 D的挠度为零，试求 P与 ql 间的关系。解ql22l 23P 2l 3yDP48EJ16EJ334qla7-13若图示梁截面 A的转角 A 0 ，试求比值 。
b解Pal Pbl A0 A 3EJ 6EJ a1 b2kM ，其中 k为已知常数，7-14 悬臂梁的固定端为弹性转动约束，该处截面转角M为该梁面上的弯矩，已知梁的抗弯刚度为EI 。试求梁自由端的挠度和转角。解y 8EJ ql343ql4 kql32 kql26EJ7-15 简支梁 AB，承受集中力 P如图示，A端为固定铰支座，B端为弹性支座，弹簧常数为 kN/m ，梁的抗弯刚度为EI，求 C处的挠度。解yCP P 36lEJ9k3P 4Pl 39k 243EJl222l7-16EI为已知，试求滑块向下的位移。图示梁的右端为一滑块约束，它可自由上下滑动，但不能转动和左右移动，若解MxPlPxEJyPl PxEJyPlxP2 x2CEJy1Plx2Px3 CxD26边界条件 x0时y0 xC0l时y0Pl3D3EJ7-17 已知在梁的挠曲线方程为 yq0 x （3x4 10l2x2 7l 4 ）。试求 （1）梁中间360EIl截面（x l ）上的弯矩；（2 ）最大弯矩值；（ 3）分布载荷的变化规律；（ 4）梁的支承情2q0 60 x3 60l 2x360l1 q0l 216 0最大弯矩时即 q0 180 x2 60l2 0360l2Mmax 0.064q0l 2分布荷载为根据 x 0支承情况为梁的左端为固定端，右端为铰支端。7-18 梁的轴线应弯成什么样的曲线，才能使载荷 P在梁上移动时其左段梁恰好为水平线（写出该曲线方程式）。题 7-18 图解MxPxEJyPxEJy即12Px2 2 Px22EJC0Px22EJy0dxPx36EJ即若使P 在梁上移动时左端保持水平则Px36EJ7-19 图示等截面梁的抗弯刚度 EI 。设梁下有曲面 yAx3 ，欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力试问梁上应加什么载荷并确定载荷的大小和方向。解Ax33Ax2y3y4yQy46Ax6A0 q x 0 即不受分布荷载。设右端受集中力 PQ EJy M xM x 6EJAxPx 6EJAxP 6EJA 即受向下的集中荷载 6EJA.7-20 重量为 P的直梁放置在水平刚性平面上，当端部受集中力P/3 后，未提起部分保持与平面密合，试求提起部分的长度a等于多少（提示应用梁与平面密合处的变形条件）解 M 1 EJ1当 x a 时所以 0 即 M a 0Pa P a2 03 2l7-21解简支梁受力如图所示，1EJ23l1EJE为已知，试求 A点的轴向位移。梁的截面为 b h矩形。1EJxAP 2l3lP 2l3l4Pl227Pl218hB22l325Pl281210Pl 2 h327Ebh 3 221l 2 3 2P 23lP 2l36l1l32l223l2l36ll22l 2312bh3 5Pl2 227 Ebh25Pl216210Pl227Ebh37-22 悬臂梁受外力偶矩 M如图示，若 l 3m，截面为工字钢，max 60 Mpa，E105 Mpa。试求挠曲线的曲率半径。试分别根据精确结果及小挠度微分方程，判断挠曲线是怎样的几何曲线（不必具体列出曲线方程）若所得结果不同，试说明为何有这些差别解 EMJEJMmaxMyymaxJ1 d 2y dx2Mxtgxgh2EJyEJyEJythx2thx24thx312CCxxl时y 0;y 0EJ2.1 106 2370M142200d2y精确方城1dx23221 dy 2 dxJ 2370 W 237M 600 237 14220043.49 10 cm小挠度下7-23 设在梁顶面上受到均布的切向载荷，其集度为 t ，梁截面为 bh矩形，弹性模 量 E为已知。试求梁自由端 A点的垂直位移及轴向位移（提示将载荷向轴线简化）。解xAC thl 24thl 24EJtl 22Ebhthl36 thl 3 6EJ h tl 2 gQAgA 2 EbhyA7-24简支梁上下两层材料相同，若两层间的摩擦力忽略不计，当梁承受均匀载荷作用时，试求两层中最大正应力的比值。（提示两梁具有相同的挠曲线）。解M 1 h1 J1 2 M 2 h2 J2 21 h12 h21 M 1 ; M2EJ2M 1 J1 M 2 J21 EJ1 2Q17-25 AB梁的一端为定铰支座 A。另一端支承在弹性刚架 BCD上，AB梁中点 F受有集中 力 P作用，各杆抗弯刚度均为 EI ，试用叠加法求 AB梁中点 F的挠度。解Paa2Pa2cEJ2EJyB1cgaPa32EJyB2Pa36EJyFPa31 Pa3Pa317Pa348EJ2 2EJ6EJ48EJ7-26试问应将集中力 P安置在离刚架上的 B点多大的距离 x处，才能使 B点的位移等于零。各杆抗弯刚度均为 EI 。解将载荷 P 移至 B点，可知集中力引起的位移 yB1弯矩引起的位移为 yB2B点受一集中力 P 和一弯矩 PxPl33EJPl2x2EJyB1 yB2 0Pl 3 Pl 2x20 x l 3EJ 2EJ37-27 用叠加法求图示各刚架在指定截面C的位移，设各杆截面相同，EI和 GI p GI均为已知。解axC2qa 2a2EJqa4 5qa48EJ 8EJyC2qa22EJ4 qa 4EJbyCyBPa3B gaB 3EJ pal Pa3 GJn 3EJPl33EJ7-28 图示为某扭转试验机的测力装置，其扭矩已知l 600mm，a 100mm，b 200mm，E 200GPa，梁的横截面尺寸为 3510mm2，试求Mn是根据外伸梁 C点的挠度来测量的。当梁上 C处的百分表读数增加 l rnm 时轴上所增加的扭转力矩。解yCga16PEl JgayCga16EJ gbMn b Mnl2Mn16EJ b16lE2 J gbagyC916 200 1093.5 13 10 812 100.620.2 51.85NM0.1yC34Pl3Eah37-29 一钢制梁厚度 h，长2l ，左段宽度 a，右段成三角形如图所示；左端固定，右端自由，承受载荷 P，弹性模量 E为已知。试求自由端 C的挠度。解 从 B 处分为两段 AB段和 BC段yBPl32Pl l 23EJ2EJPl2Pl23Pl2B2EJEJ2EJ1lP l xyCyBBgl0dxB E 0JxPl3 Pl l2 3Pl21 lP l x3EJ2EJ2EJgl E 0 Jx dx解7-30 试计算由示各阶梯形梁的最大挠度。设 I2 2I1 。a yPa3Pa a2 Pa2Pa gaPa3ga ga 3EJ2 2EJ22EJ2EJ23EJ13Pa32EJ1b1a32 EJ221EPJa2 g2ag 31g2a