第3章 线性方程组,3.1 n 维向量及其线性相关性,3.1 n 维向量及其线性相关性,如果 ai i1,2,n 是实复数叫做实复向量。,行向量是 1n 矩阵,记作 a1,a2,an； 列向量是 n1 矩阵,记作 a1,a2,anT。
如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。
全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。,常用 ,,等表示 n 元向量。,1n元向量的概念,定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量,记作 a1,a2,an，其中 ai 称为第 i 个分量。,2向量的线性运算,2 与 之和 a1b1,a2b2,anbn。,k 1时，a1,a2,an,,加法满足4条运算律,1 ； 2 ； 有0n ； 有 ,使 0n。,定义3.2 设 a1,a2,an Fn,b1,b2,bn Fn,F。,3 数 与 之乘积 a1,a2,an ，简称数乘。,向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,1 当且仅当 aibi ，i1,2,n。,F为数域,11 22 m m,Fn,,F有 1；,数乘满足4条运算律,其他 1 有 00n ; k0n 0n。,；,；,2 若 k 0n，则 0n 或 k0。,3 向量方程 x 有唯一解 x ,定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算 ,称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn Rn为实空间。,称为向量1,2 ,,m的线性组合，或 可用1,2 ,,m 线性表示。,矩阵A1,2 ,,m，x 1,2 ,,nT。,定义3.4 设i Fn ,iF i 1,2,,m,则向量,1 1 2 2 m m 1,1式可表示为A x ，此时，1,2 ,,m ,为列向量，,。,例如，在 R3中，任一向量 a1,a2,a3 可由基本向量 e11,0,0,e20,1,0,e30,0,1 线性表示为 a1 e1 a2 e2 a3 e3,在R3中，如果三个向量 1,2,3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，,即存在不全为 0 的 k1 ，k2 ，k3 使 k1 1 k2 2 k33 0,如果三个向量 1,2,3不共面，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如,1 a1 e1 ，2 a2 e2 ，3 a3 e3,3 k1 1 k2 2,定义3.5 设 1,2,,m Rn ,如果存在不全为零的 1,2,m R ,使,成立，则称1,2,,m线性相关，否则，线性无关。,“否则”是指不线性相关就是线性无关，“仅当1,2,m全为零时，才使*式成立”。这等价于 “如果*式成立，则1,2,m必须全为零”。,11 2 2 m m 0 （*）,1 1 2 2 m m 0,定理3.1 向量组 1,2,,mm 2 线性相关的充要条 件是 1,2,,m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。,证 必要性设1,2,,m线性相关，则存在不全为零的数1,2,m,使得,不妨设 1 0 ,于是,1 112 2 11m m,3向量的线性相关性,其中1,j1,1,j1,,m不全为零，充分性得证。,例1 Rn中的 e1,e2,,en 是线性无关的。
其中 ei 0,0,1,0,0 是第 i 个分量为 1 i1,2,,,n）其余分量全为零的向量。
解因为，由 1e1 2e2 mem 0 即 1,2,,n 0,0,,0 必有 1 2 n 0.,定理3.1 的等价命题 1,2,,mm 2线性无关的 充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。,充分性若1,2,,m中的一个向量可由其余向量线性表示，如,j 1 1 j1 j1 j1 j1 m m,则1 1 j1 1 j j1 j1 m m 0,注意 1 单个向量 线性相关的充分必要条件是 为零向量 因为 0 使 0 成立的充要条件是 0； 2 两个非零向量 ，线性相关的充分必要条件是 ，成比例 即存在 k 或 l 。
3 R3中三个向量 ，线性相 关的充分必要条件是 ，共面,例2 含零向量的任何向量组0,1,2 ,,m都线性相关。因为 1 0 0 1 0 2 0 n 0,从而有不全为零的 1 ,2 ,k ,0,,0 使,例如，1 1,2,1T,2 2,4,2T ,3 1,1,3T。因为 1,2 线性相关（成比例），所以，1,2,3 线性相关。
例3 的等价命题是线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无关。
总之向量组部分线性相关，则整体线性相关； 整体线性无关，则任一部分都线性无关。,例3 如果向量组 1,2,,m中有一部分向量线性相关，则 整个向量组也线性相关。,证不妨设1,2,,k线性相关,于是有不全为零的 1 ,2 ,,k ,使 1 1 2 2 k k 0 成立，,1 1 2 2 k k 0 k1 0 k2 0 m 0 成立，所以1,2,,m线性相关。,则 1,2,,s线性相关的充要条件是 s 元线性齐次方程组 Ax0 有非零解,其中,定理3.2 设 1,2,,s Fn,其中,1 a11 ,a21 ,,an1T,2 a12 ,a22 ,,an2T,s a1s ,a2s ,ansT,此定理的等价命题是 1,2,,s线性无关的充要条件是 Ax0只有零解。,因为 s 个未知量,n个方程的齐次线性方程组必有非零解，即 sn 时 Ansx0 必有非零解。,定理3.3 若向量组1,2,,r 线性无关 ,而向量组 ,1,2,,r 线性相关 ,则 可由1,2,,r 线性表示，且表示法唯一。,证 由于向量组,1,2,,r 线性相关，所以存在不全 为零的数 ,1 ,2 ,,r 使得,11 2 2 r r 0,其中 必不等于零如果 0,则由1,2,，r 线性无关 又得 1 ,2 ,,r 全为零，与题设矛盾,于是,1 1 1 1 2 2 1 r r,则 可由 1,2,,r 线性表示。,推论.任意 s 个 n 维向量，当 sn 时都线性相关。,故n1个n维向量必线性相关。,于是，b1 c1 1 b2 c2 2 br cr r 0,则 Rn 中任一个向量 可由 1,2 ,,n 线性表示，且表示法 唯一。
这是因为 Rn 中任何 n1个向量都线性相关。故 1,2,,n线性相关，由 定理3.3，向量 可由 1,2,,n 线性表示，且表示法 唯一。,再证表示法唯一。设有两种表示法,b11 b22 br r c11 c22 cr r,而 1,2,,r线性无关，所以 bi ci i 1,2,r ,故 由 1,2,,r 表示是唯一的。,推论 如果1,2,,n是 Rn 中线性无关的 n 个向量,例4 1 a 取何值时，1 1,3,6,2T ,2 2,1,2,1T ,3 1,1,a,2T 线性无关,解 1设x1 1x2 2x3 30*,2 a 2时，3可否由1,2 线性表示若可以，求表示式。,解 2设 3 x1 1x2 2*,得 x24/5 x13/5 所以，,例5 若,问,解,是否线性无关,思考由定理3.2，若向量组 1,2,,r线性无关 ,对每一个i 各增加 m个分量得到的向量组1,2,,r 也线性无关。其逆否命题是什么,3.2 向量组的秩及其极大线性无关组,定义3.6 向量组1,2 ,s中存在 r 个线性无关的向量 i1,i2 ,ir,且任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组的秩为 r，记 作,秩1,2 ,sr 或 r1,2 ,sr,并称 i1,i2 ,ir是一个极大线性无关组。,注意一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性 无关组不是唯一的。例如,11,0; 20,1; 31,2; 42,1,秩1,2 ,3,42,其中任意两个i,j i,j 1,2,3,4且 ij 都线性无关，都是 1,2 ,3,4的一个极大线性无关组。,定义3.7 若向量组 1,2 ,k 中每个向量均可由向量组1,2 ,s线性表示，则称 1,2 ,k可由向量组1,2 ,s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作 1,2 ,s1,2 ,k ,定理3.4 设向量 1,2 ,s可由另一向量组 1,2 ,r 线性表示。如果 sr,则 1,2 ,s 线性相关。
在R3中的几何背景是如果1,2线性无关,1,2,3可由 1,2 线性表示，则 1,2,3都位于 1,2所确定的平面上,故 1,2,3线性相关。,证 设,j 1,s,再设 x1 1 x2 2 xs s 0,交换和号顺序,推论1定理2.5的等价命题 若1,2 ,s 线性无关,则 s r。,故1,2,s线性相关。,令,中 i i 1,2,n的系数全为零,即,（i 1,r）（*）,此式是关于 x1 ,x2 ,xs 的齐次线性方程组，由于 r s （方程个数 未知数个数 ,必有非零解，从而有不全为零的 x1 ,x2 ,xs 使 * 式成立，即有不全为零的 x1 ,x2 ,xs 使,x1 1 x2 2 xs s 0,推论2 若秩1,2 ,sr,则 1,2 ,s中任意 r 1 个向量都是线性相关的。,因为任意 r 1个向量都可经线性无关的 r 个向量线性表示。,若秩1,2 ,sr,则 1,2 ,s中任意 r 个线性 无关的向量都是 1,2 ,s的一个极大线性无关组。,推论3 若向量组 1,2 ,k 可由向量组 1,2 ,s 线性表示，则 秩1,2 ,k 秩1,2 ,s,证 设 1,2 ,r和 1,2 ,p 分别是 1,2 ,k 和 1,2 ,s 的一个极大线性无关组，则,1,2 ,p 线性表示，由推论1得r p。,1,2 ,r可经 1,2 ,k线性表示。,已知 1,2 ,k,可由 1,2 ,s 线性表示，,又1,2 ,s可经其极大线性,无关组 1,2 ,p 线性表示。因此，1,2 ,r可经,推论4的逆命题不成立。例如，11,0，0; 20,1,0; 30,0,1 秩1,2 秩 1,32 但1,2 和1,3不是等价向量组。,除掌握秩和极大线性无关组的定义外，还要掌握秩和极大线性无关组的求法，以及向量组中的一个向量如何用极大线性无关组线性表示。
这在下一节中讲。,推论4 若向量组1,2 ,k 1,2 ,s，则 秩1,2 ,k秩1,2 ,s,3.3 矩阵的秩 相抵标准形,A的n个列m个行向量组成的向量组的秩称为A的列秩行秩。,在阶梯形矩阵中，非零行的行数A的行秩 A的列秩。,方程 x11 x2 2 x3 3 0 ,易得只有零解 ，三个行向量 1,2 ,3 线性无关，A的行秩3。,方程y11 y3 3 y4 4 0 也只有零解 ，三个列向量1,3 ,4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以 A的列秩3。,定义3.8 矩阵Aaijmn的每一列行称为A的一个列行向量。,A的列秩 n；A的行秩 m,1.矩阵的行秩列秩矩阵的秩,3 将A的第i行乘常数c加到第j行得到B，则B的行向量组 1,,j ,m为 jcij ; kk kj。相应地 也有jjci ; kk kj。因此A与B的行向量组可以 互相线性表示（等价）。所以A与B的行秩相等。,定理3.5 初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩。,证只需证明作一次倍乘，倍加和对换行变换，A的行秩不变。设mn矩阵A的m个行向量为1,2 ,m。,将A的第 i,j 行对换得到B,则B与A的行向量组相同（只 是排列顺序不同），故A,B的行秩相等。,将A的第 i 行乘非零常数 c 得到B,则B的行向量组为 1,i-1,ci ,i1,m，它与A的行向量组等价。
因此 A与B的行秩相等。,所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。,这个定理给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。,定理3.6 对矩阵A作初等行变换化为B,则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即,则向量组 i1,i2 ,ri 与 i1,i2 ,ir （1i1 i2 ir s,有相同的线性相关性。,证对A做行变换化为B，即 B PkP2P1A,其中 PkP2P1 为若干初等矩阵的乘积，记 P PkP2P1P可逆，则,PA B 或 Pj j ,j1,2,s,记A1 i1,i2 ,ir ,B1 i1,i2 ,ir ,则,齐次线性方程组A1x0 与 B1x 0 即PA1x0）为同解方程组。,所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。,推论对矩阵A做初等行变换，不改变A的列秩。,例1 求向量组 1,2,,5的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中 11,1,0,0,21,2,1,1 ,30,1,1,1，41,3,2,1,52,6,4,1 i为行向量,解对A1T,2T ,3T,4T,5T 将 i 竖排作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，即,记阶梯形矩阵U1,2,3,4,5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1,2,4列 线性无关，所以，1,2,4 是U的一个极大线性无关组，从而，1T,2T,4T 是A的列向量组的一个极大线性无关组。即 1,2,4 是 1，2，3，4 ，5 的一个极大线性无关组。,1 设 x11x2 2 3，此非齐次方程组的增广矩阵为 1，2，3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的 前三列，其同解方程组为,x1x20,x21，解得x1 x2 1。所以，312 。,2 设 x1 1x2 2x4 4 5，同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为U中的第1，2，4，5列,得同解方程组,3,5 可以用1,2,4 线性表示，做法如下,3,5 用 1,2,4线性表示的另一个做法如下,设 x11Tx2 2Tx3 3T x4 4Tx5 5T 0,此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U 1 。,其同解方程组为,由定理3.5 和定理3.6的推论 得,定理3.7 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。,定理3.8 矩阵A的行秩 A的列秩。,证对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则 A的行秩 U的行秩 U的列秩 A的列秩,定义3.8 A的行秩 A的列秩,统称为A的秩，记作秩A，或 rA.对n 阶矩阵A ，rA n时称为满秩矩阵。,定理3.9 n 阶矩阵A ，rA n 的充要条件是A为非奇异矩阵（即 A 0）。,证若 rAn，则对A做初等行变换，将其化为阶梯 形矩阵U ，则 U 有n个非零行，可以继续化为单位矩阵 I ,即 存在可逆矩阵 P 使得 PAI 。,所以，PA P A 1,故 A 0。,若 A 0 ，则 A x0 只有零解 x A10 0,A的n个列向量线性无关，故 rA n。,矩阵A若存在 r 阶非零子式且所有 r 1 阶子式都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为 r（因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称r为A的行列式的秩。,定义3.9 矩阵Aaijmn 的任意k行 i1i2ik行和任意 k列 j1j2jk列 的交点上的 k2 个元素排成的行列式,称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 k 阶子式。
等于零的 k 阶子式,称为 k 阶零 子式,否则叫做非零子式。
当 jt it t 1,2,,k 时，称为 A 的 k 阶主子式。,2.矩阵的行列式的秩矩阵的秩,定理3.10 秩Ar的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r 。,证必要性。设秩A r,不妨设A的前 r行线性无关。记,充分性。不妨设A的左上角 r 阶子式| Ar|0，则 Ar可逆,Ar 的 r个行向量线性无关,添分量成为 A1 的行向量组也线性无关。而A中任何 r 1 行线性相关（否则，由必要性的证明可知A中存在r 1阶非零子式）。,A的任意 r 1个行向量线性相关，所以 A的任意 r 1阶子式都等于零*。由*和*得A的行列式的秩为 r.,A1 Ar B,其中Ar是 r 阶方阵,rA1 r。,不妨再设A1的前 r 列向量线性无关,即 rArr,故 | Ar|0.即 存在一个 r 阶子式不等零（*），,故 矩阵A的行秩秩A r。,3.矩阵的秩的性质,1 对任意的Amn，都有 秩A minm,n 和 秩AT秩A。,秩AB 秩A秩B。
证 设 Amn 1,2,n,Bmn 1,2,,n ,秩A p,秩Bq，1,,n和 1,,n的极大线性无关组 分别为1,,p和 1,,q ，则 AB1 1,2 2,,n n AB的列向量组可以由向量组1,2,n,1,,n线性 表示。所以，rAB r1,2,n,1,,n pq。,3 秩AB min秩A,秩B。,证设 A，B 分别是 mn 和 ns 矩阵，A依列分块有,4 设A为 mn 矩阵，P 和 Q 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵,则 秩A秩PA秩AQ秩PAQ 证 秩PA秩A,由 P1 PA A ，得 秩A秩PA 所以 秩PA秩A ; 同理可证明其他情形。
或利用可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左右乘A是对A作初等行列变换，初等变换不改变矩阵的秩。,AB的列向量组可以由A的列向量组1,,n线性表示。
所以，rAB AB的列秩 A的列秩 rA 类似地，对B依行分块，可以证明rAB rB。或利用 rAB rABT rBT A T rBT rB,例2 设A为 mn 矩阵，且 mn，证明|ATA |0。
证由于秩ATA秩A minm,nmn，而 AT A是 n 阶矩阵，故 AT A 是不可逆矩阵，于是 | AT A |0。,4.矩阵的相抵标准形,相抵关系 是一个等价关系。具有性质 1反身性，即A A ; 2对称性若A B，B A； 3传递性若A B,B C,则A C。,定义3.10 设 A是 mn 矩阵，A 经过初等变换化为 B 或存在可逆矩阵 P 和 Q,使得 PAQB），就称A相抵于B 或A等价于B，记作 A B .,定理 3.11 若 秩Amn r，则一定存在可逆矩阵P m阶）和Q（n阶）使得,证 A可以经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵Ur，即存在初等阵P1 ,.P2,Ps,使得.Ps P2P1 A Ur ,再对 Ur 做倍加列变换和列对换,即存在初等阵Q1 ,.Q2,,Qt，使得,其中Ir 为r阶单位矩阵。,UrQ1 Q2 Qt U 令Ps P2P1 P，Q1 Q2 Qt Q P,Q均可逆 ，则,称矩阵U为A 的相抵或等价标准形。所有秩为r 的mn矩阵都相抵于U 。,*例3 设A是mn矩阵mn,秩A n.证明存在nm矩阵B,使BAIn.证A是mn矩阵，秩A n,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得,则,其中01是mnn零矩阵; 02是n mn零矩阵。,故存在nm矩阵BCP,使BAIn 。,解 若a1,则A的各行成比例，rA1。所以，排除a1。,例4.设n 阶矩阵n3,若矩阵A的秩为n 或 n 1，则a必为_。,1 若 k 1n 1a 0 即,第一列乘,再将各行减去第一行，得到,可知 a1且,时，rAn。,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列。,2 若,所以，rA n 1。,即 k 1n1a 0。
A的各列加到第1列。,再将第2，n行各行都减去第1行,再将第2，,n行各行都乘,加到第1行，将第1行化为全零行,例5.设,已知rA2,求t。,解,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。,B中第2，3行成比例,3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,1.齐次线性方程组有非零解的充要条件,以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax0 当A按列分块为 A1,2 ,n,列向量 xx1,x2,xn T 时，方程组表示为向量方程,x1 1 x2 2 xn n0。,定理3.12 齐次线性方程组Ax0 有非零解的充要条件是,rAr 1,2 ,n n ，或 1,2 ,n线性相关。,当rAr时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵,Ax0 与Ux0为同解方程组,有非零解的充要条件rn 。,推论1 A为mn矩阵,A x0 只有零解的充要条件rn。,推论2 A为n阶矩阵时,A x0 有非零解的充要条件A 0。,证 设 B b1,b2,bn，AB0,即 A b1,b2,bn A b1,A b2,A bn0,0,,0。,例1 设A是n阶矩阵，证明存在ns矩阵B0,使得AB0 的充要条件是A 0。,A bi0（ i1,2,,n 意味着B的每一列都是A x0 的解。
由 B0，即A x0 有非零解。所以，A 0。,反之，若A 0，A x0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B 0,且AB0。,2.齐次线性方程组解的结构,定理3.13 齐次线性方程组A x0 的任意两个解x1，x2 的 线性组合k1 x1k2 x2k1 ,k2 为任意常数 也是它的解。,证因为Ak1 x1k2 x2 k1 A x1k2 Ax2 k1 0k2 00。,定义3.13 设 x1,x2,xp 是Ax0 的解向量，且Ax0 的 任意一个解向量都可由 x1,x2,xp 线性表示，则称 x1,x2,xp为Ax0的一个基础解系。,基础解系的任意线性组合也都是Ax0的解，称,证对A作初等行 变换，化为行简 化阶梯形矩阵，不妨设为U，,3.求Ax0 的基础解系的常用方法,定理3.14 设A是mn矩阵，rArn,则齐次线性方程组,Ax0 与U x0为 同解方程组。,x k1x1 k2x2 kpxp,其中k1,k2,kp 为任意常数）为Ax0的一般解（通解）,Ax0 存在基础解系，且基础解系包含 nr 个解向量。,Ux0，即,选xr1,xr2,,xn为自由未知量，对它们取下列n r 组值 1,0,,0 ,0,1,,0 ,，0,0,,1 再分别代入*，即可得到Ax0 的n r个解 x1 c1,r1,c2,r1,,cr,r1,1,0,,0T x2 c1,r2,c2,r2,,cr,r2,0,1,,0T x n-r c1,n ,c2,n,，cr,n,0,0,,1T 这 n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），,*,再证Ax0 的任意一个解向量都可由 x1,x2,xn-r 线性表示。,且 x* k1 x 1 k2 x 2kn-r xn-r 也是Ax0的解。,Ax0 的任意一个解向量 x ，可取自由未知量xr1,xr2,,xn和任意常数 k1,k2,kn-r,代入*得 x（ d1,d2,dr,k1,k2,kn-r T,所以 x1,x2,xn-r 是齐次线性方程组Ax0 的基础解系。,x- x*也是Ax0的解。,x x*（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r T k1 x 1 k2 x 2kn-r xn-r ,是自由未知量 xr1,xr2,,xn 全部取0时的解，此时由*得 x1 xr 0，即 d1* d2 * dr *0，所以，x x*0，即,x x* k1 x1 k2 x2kn-r xn-r可由 x1,x2,xn-r 线性表示。,（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r T,k1 c1,r1,c2,r1,,cr,r1,1,0,,0T,k2 c1,r2,c2,r2,,cr,r2,0,1,,0T kn-r c1,n ,c2,n,，cr,n,0,0,,1T,d1*,d2 *,dr *,0,0,0T,Ax0 的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一 定是n r。任意一个基础解系的线性组合都是Ax0 的通解。,例2求方程组 AxO 的基础解系和一般解。其中,Ax0的一般解为 x k1 x1k2 x2，即 x k13,1,0,0,0T k27,0,2,0,1T,解 对A做初等行变换，将 A化为行简化阶梯形矩阵U。,选x1,x3,x4为主元，x2,x5为自由未知量，,取x20,x5 1，得x27,0,2,0,1T,x1，x2 为Ax0 一个基础解系。,取x21,x5 0 得 x13,1,0,0,0T。,rA3,n-r2,（k1，k2为 任意常数）,rB秩 1,2 ,s nrA,即 rArBn,证记 B1,2 ,s （i 为B的第 i 列向量）。,例3 若AmnBns0,则 rArBn。,由AB0 ，得 Ai0 i1,s,即1,2 ,s都是Ax0的解，,又Ax0 的基础解系含nrA 个解，即 Ax0 的任意一组解,中至多包含 nrA 个线性无关的解，所以，,设ATA x0 xRn，则 xTATA x 0 ，即 AxTAx 0 。
令Ax b1,b2 ,bm Rm（实向量），则 AxTAx b12 b22 bm2 0 ，故必有b1b2 bm 0 ，,*例4 设A是mn实矩阵，证明rAT ArA。,证 由秩的性质知 rATA rA，只需证明 rATA rA。,只要证明 ATAx0的解集合包含于 Ax0 的解集合。,即Ax0 。因此，ATAx0的解必满足方程Ax0，所以，n rATA n rA,即 rATA rA。,例5.设rBm32,m3,问,（1）a,b 满足什么条件时，将确保rAB 2; （2）A,B 满足什么条件时，rAB 1。,解1 当|A|ab10 时，A满秩（可逆）,rAB rB2。,2当|A|ab10 时，A不可逆,rA2 因A中有两列不成比例。,由 rBm32，不妨设B（x1,x2,x3）。,若AB （Ax1,Ax2,Ax3）（0,0,）,其中 0 ，则 rAB 1。,即 x1,x2 是Ax0 的解，而 x3 不 是Ax0 的解。
由rA2 知x1,x2成比例基础解系仅含一个解向量）。,但 x3,x2不成比例（否则x3 也是A x0 的解，矛盾）。此时，rB rx1,x2,x32,所以，当A,B 满足 ab1 ，B 的列向量中有两列 是 A x0 的解且 另一列不 是Ax0 的解时，rAB 1。,3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构,设 A1,2,n,则Axb 等价于向量方程 x11 x2 2,xn nb Ax b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以，,秩 1,2,n，b 秩 1,2,n,定理3.15 对于非齐次线性方程组Axb ，下列命题等价 1Ax b有解或相容; 2b可由A的列向量组线性表示; 3 rA,b rA,即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。,即 rA,b rA,Axb 与 Cxd 为同解方程组，Axb 有解 dr10,又 rC,d rA,b ； rC rA，所以，Axb 有解 rA,b rA,rC,d rC,推论Axb 有唯一解 rA,b rA n A的列数。,因b由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是 A的列向量组 1,2,n线性无关，即秩1,2,nn。,证 Ax1x2 A x1 A x2 b b 0。,定理3.16 若 x1,x2 是A xb 的解，则 x1x2 是对应的 齐次线性方程组A x0 的解。,可以表示为 x* x0 k1x1 k2x2 kpxp 。
因此,x* x0 x* x0 可以表示为x x0 x 的形式，即是A x b 的一般解。,定理3.16 若A x b 有解，则其一般解为 x x0 x,其中x0 是A x b 的一个特解（某一个解）； x k1x1 k2x2 kpxp 是A x 0 （称为A x b 的导出组）的一般解。,证由Ax0 x,A x0 A x b,所以，x0x 是A x b 的解，,设 x* 是A x b 的任意一个解，则 x* x0 是A x 0 的解。,取 x2 x4 x50 代入Ux d，求得 Ax b 的一个特解 x01/3,0,1/3,0,0T 取自由未知量 x2,x4,x5 的三组数 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 并依次代入Ux 0，得 Ax 0 的基础解系 x11,1,0,0,0T,x21/3,0,2/3,1,0T,也可取为 x2* 1,0,2,3,0T,x32/3,0,1/3,0,1T,也可取为 x3*2,0,1,0,3T,例1 设非齐次线性方程组Ax b 的增广矩阵为,试求Ax b 的一般解。,解,x x0 k1 x1 k2x2* k3x3* 1/3,0,1/3,0,0T k11,1,0,0,0T k21,0,2,3,0T k32,0,1,0,3T k1,k2,k3为任意常数 为Ax b 的一般解。,解法1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。,例2 设线性方程组,就参数 a,b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。,2 当a1,且14b2ab12b0，即 b1/2 时，有无穷多解,1 当（a1 b 0时，有唯一解,4当 a1,b0时，D 0,rA2,rA,b3,无解。,3 当a1,b1/2 时，14b2ab 0,方程组无解。
4 当b0 时，14b2ab 1 0 时,方程组无解。
（原方程组中后两个方程是矛盾方程）,于是方程组的一般解为 x 2,2,0T k1,0 ,1T k为任意常数）,a1,b1/2 时，化为,解法2,系数行列式,1 当（1 a b 0时，D0，方程组有唯一解。,2 当a1,b1/2 时，D 0 ，rA rA,b2,有无穷多解。,3 当a1,b 1/2 时，D 0 ，rA2,rA,b3,无解。,例 证明若x0 是Ax b 的一个特解，x1,xp 是 Ax 0的基础解系，则 x0,x0x1,x0 x2,x0xp 线性无关 且 Ax b 的任一个解 x 可表示为 x k0 x0 k1x0x1 k2x0 x2 kpx0xp 其中k0 k1 k2 kp1 。
证 设 c0 x0 c1x0x1 c2x0 x2 cpx0xp 0,即 c0 c1 c2 cp x0 c1x1 c2x2 cpxp 0,则必有 c0 c1 c2 cpa0,（否则，记 di ci /a，得 x0 d1x1 d2x2 dpxp 是Ax 0的解，矛盾），再由 c1x1 c2x2 cpxp 0 和 x1,x2,xp 线性无关，得 c1 c2 cp 0,从而 c00 ，故 x0,x0x1,x0xp 线性无关。
根据定理3.17，Ax b的任一个解 ,可表示为 x x0 k1x1 k2x2 kpxp 1k1 kp x0 k1x0x1 kpx0xp 令1k1 kp k0，则k0 k1 k2 kp1，命题得证。,例4.设A是34矩阵，rA2,Axb 有三个解 x11,1,1,1T,x21,1,1,1T; x3 1,1,1,1T 求 Axb 的一般解。
解x1x20,2,2,0T，x1 x32,0,0,2T 是Ax0 的两个线性无关解不成比例，又4r2,所以，x1 x2,x1 x3 是A x