第4节 直线、平面平行的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与平行有关的命题判断1,2,3,5,7直线与平面平行6,8,10,11,14平面与平面平行9,11,15综合问题4,12,13,15根底对点练时间30分钟1.在正方体 ABCDABCD中,与直线CC平行的棱的条数是C A 1B2C3D4解析与直线CG平行的棱有 AA,BBi,DDi,共3条.2.设I表示直线，a ,B表示平面给出四个结论 如果I //a ,那么a内有无数条直线与I平行； 如果I //a ,那么a内任意的直线与I平行； 如果a//B ,那么a内任意的直线与B平行； 如果a//B ,对于a内的一条确定的直线a,在B内仅有唯一的直线与a平行以上四个结论中，正确结论的个数为C A0B1C2D3解析中a内的直线与I可异面，中可有无数条3.2021福建联考设I,m,n表示不同的直线，a ,3 ,丫表示不同的平面，给出以下四个命题 假设m I,且ma ,贝U I丄a ; 假设 m// I,且 m//a ,那么 I //a ; 假设 aA3 I,3门丫 m,Ya n,那么 I // m// n; 假设 aA3 m,3门丫 I,Ya n，且 n//3 ,那么 I // m.其中正确命题的个数是B A1B2C3D4解析对，两条平行线中有一条与一平面垂直 ，那么另一条也与这个平面垂直，故正确；对,直线I可能在平面a内，故错误；对,三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故错误； 对,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上正确.4.2021 揭阳一模设平面a ,3 ,直线 a,b,a a ,b a ,那么“ a/3 ,b/3 是“ a//3 的B A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由平面与平面平行的判定定理可知，假设直线a,b是平面a内两条相交直线,且有“ a //3 ,b //3 ,那么有“ a//3；当“ a//3,假设 a a ,b a ,那么有“ a/3 ,b //3 ,因此“ a3 ,b 3 是“a//3 的必要不充分条件.5.2021温州模拟m,n是两条不同的直线，a ,3，丫是三个不同的平面，以下命题中错 误的是C A 假设 ma ,m3 ,那么 a//3B 假设 a/丫 ,3Y ,那么 a//3C 假设 m a ,n 3 ,m // n,那么 a//3D 假设 m,n 是异面直线,m a ,m //3 ,n 3 ,n //a ,那么 a//3解析由线面垂直的性质可知 A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C,a ,B可以相交、可以平行，故C错误6.如下图,在空间四边形 ABCD中,E,F分别为边 AB,AD上的点,且AE EBAF FD1 4,又H,G分别为BC,CD的中点，那么B A BD //平面EFGH且四边形EFGH是矩形B EF //平面BCD且四边形EFGH是梯形C HG //平面ABD且四边形EFGH是菱形D EH //平面ADC且四边形EFGH是平行四边形解析由 AE EBAF FD1 4 知 EF BD,所以EF//平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点，所以HG BD.所以 EF// HG且 EFMHG,所以四边形EFGH是梯形7.2021汕头质检假设m,n为两条不重合的直线,a ,B为两个不重合的平面，那么以下命题中真命题的序号是.假设m,n都平行于平面a ,那么m,n 定不是相交直线; 假设m,n都垂直于平面a ,那么m,n 定是平行直线； a ,B互相平行,m,n互相平行，假设m//a ,那么n ; 假设m,n在平面a内的射影互相平行 ，那么m,n互相平行.解析为假命题;为真命题;在中,n可以平行于B ,也可以在B内，故是假命题；在 中,m,n也可能异面，故为假命题.答案8.如下图，在四面体 ABCD中 ,M,N分别是 ACDA BCD的重心,那么四面体的四个面中与MN平行的是.解析连接AM并延长交CD于 E,连接BN,并延长交CD于 F,由重心性质可知,E,F重合为一点EM EN且该点为 CD的中点E,由.,得MIN/ AB.因此,MN //平面 ABC且 MIN/平面 ABD.答案平面 ABC 平面 ABD9.在正四棱柱 ABCDAiCiDi中,0为底面ABCD勺中心,P是DD的中点，设Q是CG上的点，那么点Q满足条件时,有平面DBQ//平面PA0.解析假设Q为CC的中点，因为P为DD的中点，所以QB// PA.连接DB,因为P,0分别是DD,DB的中点，所以DB// P0,又DB平面PA0,QB*平面PA0,所以DB//平面 PA0,QB/平面 PA0,又 DBA QBB,所以平面DBQ/平面PA0.故Q满足条件Q为CC的中点时，有平面DBQ//平面PA0.答案Q为CC的中点10.如图，在长方体 ABCDABiC D中,E,H分别为棱 AiBi,DQ上的点，且EH// AiD,过EH的平面与棱BB,CCi相交,交点分别为F,G,求证FG // 平面 ADDAi.证明因为 EH// AiDi,AiD // Bi Ci,EHP平面 BCCB,BiCi平面 BCCB,所以EH//平面BCCBi,又平面FGHA平面 BCCBiFG,所以 EH// FG,即 FG// AD,又 FG平面 ADEAi,AiD平面 ADDA,所以FG//平面ADDAi.ii.如图，四边形ABCD与 ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.i求证BE //平面 DMF;求证平面BDE//平面 MNG.证明 连接AE,那么AE必过DF与GN的交点0,连接MO那么皿0为厶ABE的中位线，所以BE// MO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE//平面DMF.因为N,G分别为平行四边形 ADEF的边AD,EF的中点，所以 DE// GN,又DE平面 MNG,GN平面 MNG,所以DE//平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为 ABD的中位线，所以 BD// MN,又MN平面 MNG,BD平面 MNG,所以BD//平面MNG,又 DE,BD平面 BDEQEH BDD,所以平面BDE/平面MNG.能力提升练时间15分钟12.在正方体 ABCD1BCD中,M是棱AB的中点，点P是侧面CDDCi上的动点，且MP//平面ABC,那么线段MP扫过的图形是B A中心角为30的扇形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形解析取CD的中点 N,CC的中点 R,BiCi的中点 H,连接 MH,MN,HR,NR,MF那么 MIN/ BQ// HR,MH // AC,故平面 MNRH平面 ABC,故当点P在NR上运动时，MP//平面 ABC,所以线段 MP扫过的 图形是 MNR设AB2,那么MN2，,NR ,MR,所以mNnRmR,所以 MNR直角三角形，即线段MP扫过的图形是直角三角形 .13.2021温州模拟如图，矩形ABCD中 ,E为边AB的中点，将 ADE沿直线DE翻转成 ADE.假设M为线段AC的中点，那么在 ADE翻转过程中，正确的命题是 .MB是定值; 点M在圆上运动； 一定存在某个位置，使DEI A1C; 一定存在某个位置，使MB//平面ADE.解析取DC中点N,连接 MN,NB那么MN/ AD,NB// DE,所以平面MN/平面A1DE,因为 MB平面 MNB,所以MB//平面ADE，正确；/ AiDEZ MNB,MNAtW ,NBDE定值,根据余弦定理得 mBM|NnB-2MN NB- cos / MNB,所以MB是定值.正确；B是定点，所以M是在以B为圆心,MB为半径的圆上，正确；当矩形ABCD满足ACL DE时存在，其他情况不存在，不正确.所以正确.答案14.如图,几何体 EABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CBCD,ECL BD.1求证BEDE; 假设/ BCD120 ,M为线段 AE的中点,求证DM//平面 BEC.证明1如下图，取BD的中点O,连接CO,EO.由于 CBCD所以 COL BD.又 EC丄 BD,ECA COC,CO,EC平面 EOC,所以BD丄平面EOC,因此BD丄EO.又O为BD的中点，所以BEDE.2法一 如下图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点，所以MN/ BE.又MN平面BEC,BE平面 BEC,所以MN/平面BEC.又因为 ABD为正三角形 所以/ BDN30 .又 CBCD/ BCD120 ,因此/ CBD30 ,所以 DN// BC.又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN//平面BEC.又 MNT DNN,所以平面DM/平面BEC.又Dl平面DMN,所以DM/平面BEC.法二如下图，延长AD,BC交于点F,连接EF..K因为 CBCD/ BCD120所以/ CBD30 .因为 ABD为正三角形，所以/ BAD/ ABD60 ,/ ABC90 ,因此/ AFB30 ,所以 ABAF.又ABAD所以D为线段AF的中点，连接DM,由点M是线段AE的中点，得DM/ EF.又Dl平面BEC,EF平面BEC,所以DM/平面BEC.ABCD.15.1证明BD丄AA;证明平面ABC//平面DAG;在直线CC上是否存在点 P,使BP//平面DAG1证明因为底面ABCE为菱形，所以BD丄AC.由于平面AAGC丄平面ABCD,平面 AAGCQ 平面 ABCDAC,所以BD丄平面AAGC,故BD丄AA.证明连接 BC,ABi,由棱柱 ABCDABGDi 的性质知 AB // DC,AiD// BC,又 ABQ BCB,AiDQ DCD.故平面 ABC//平面 DACi.解存在这样的点P.因为 AB AB DC,所以四边形AiBiCD为平行四边形,所以 AD// BiC.在CC的延长线上取点 P,使CCCP连接BP.因为BB CC,所以BB CP,所以四边形BBCP为平行四边形，贝U BP// BiC,所以 BP// AiD,而 BP平面 DACi,AiD平面 DAC,所以BP//平面DAG.故在直线GC上存在CCCP的点P符合题意.精彩5分钟1.2021天津滨海模拟如图，在四面体ABCD中 ,截面PQM是正方形，且PQ// AC,那么以下命题 中，错误的选项是C A AC 丄 BDB AC //截面 PQMNC ACBDD 异面直线PM与 BD所成的角为45解题关键此题的关键是利用线线平行得到线面平行.解析由题意可知 QM/ BD,PQ1 QM所以ACL BD,故A正确；由PQ// AC可得AC//截面PQMN故 B正确；由PN// BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于 PM与 PN所成的角，又四边形PQMN 为正方形，所以/ MPN45 ,故D正确.2.在正方体 ABCD/BiCiD中,Q是CC的中点,F是侧面 BCGB内的动点且 AF//平面 DAQ,那么 AiF与平面BCCB所成角的正切值的取值范围为 .解题关键解此题的关键是确定动点F的位置，再确定AF与平面BCCB所成角的正切值最大值和最小值时的位置.解析设平面ADQ与直线BC交于点G,连接AG,QG贝卩G为BC的中点,分别取BiB,BQ的中点 M,N,连接 AM,MN,AN,如下图.因为 AM// DQ,AiM平面 DAQQQ平面 DAQ,所以AM//平面DAQ,同理可得 MIN/平面DAQ.因为AiM,MN是平面AiMN内的两条相交直线，所以平面AMIN/平面DAQ.由此结合 AF//平面DAQ,可得直线 AF平面AiMN,即点F是线段MN上的动点.设直线AiF与平面BCCB所成角为B ,移动点F并加以观察，可得当点F与M或N重合时,AiF与平面BCCB所成角等于/ AMB,此 时所成角B到达最小值，满足tan 0 2;当点F与MN中点重合时,AiF与平面BCCB所成角到达最大值,满足tan所以AiF与平面BCCBi所成角的正切值的取值范围为 答案2,2.