特征值特征向量的应用1 求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵A可以对角化，即存在可逆矩阵P使1 P AP diag2丄，Q.其中1,2,n是A的全部特征值且A P P 1，则对任意正整数k有Ak PP1k PP1PP1LPP1PkP1 .所以可通过A的相似对角阵来求Ano例1作为计算矩阵高次幕的一个实例，考察如下问题设某城市共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持 不变，而社会调查表明1在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业,9万人从事工业,6万人经 商;2在从农人员中，每年约有20改为从工，10改为经商；3在从工人员中，每 年约有20改为从农,10改为经商;4在从商人员中，每年约有10改为从农,1 0 改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多之后，从事各业人员总 数之发展趋势。解若用3维向量乂表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知15X9,而欲求C X并考察在n-X时灯的发展趋势，引进3阶矩阵6Aaj用以刻IMI从事这三种职业人员间的转移，例如a230.1表明每年有100.7 0.2 0.1的从工人员改去经商。于是有 A 0.2 0.7 0.1 ,由矩阵乘法得0.1 0.1 0.812.9X 1 ATX AX 19.97.2X 2 A X 1 A2X 011.7310.238.04所以 Xn AXn1AnX要分析xn就要计算A的n次幕An，可先将A对角化0.70.21即 A E 0.20.7。1 1- 0-7-0.5-0.1 0.1 0.8特征值为 11,20.7,30.5分别求出对应的特征向量qi,q 2 ,q 3并令Q q i,q 2 ,q 3 ,则有A QBQ100100从而有An CBQ 1，再由xnAnX ,B00.70JB00.7n0000.5000.5“100100可知nx时Bn将趋于000 ,故知An将趋于Q000Q1，因而X将000000趋于一确定常量x J因而Xn 1亦必趋于X*J由XnAXn 1知）e必满足1tX*AX*,故X*是矩阵A属于特征值1 1的特征向X * 1 tt ,t t1tt 3 30,t10,照次规律转移，多年之后，从事这三种职业的人数将趋于相等 均为10万人。2求方阵A的多项式的行列式的值设n阶方阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使Ak PkP1，其中diagi,2,L,n ai aEP1,2,n是A的全部特征值.因此对方阵A的多项式f A amAm Lai A aE ,有fA P amm Lai1aP 1.即fA amAm La* aE Pamm Lam m L 印 a diag f 1,f 2丄,f Q f 1f2Lf n.例1设n阶实对称矩阵A满足A2A且A的秩为r,试求行列式的值。解设AX X X工0,是对应于特征值的特征向量，因为A2 A，则X A X A2X 2X,从而有2- X0,因为 XmO 所以 -1 0,即1或0,又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r,故存在可逆矩阵P使得P1AP Er0B,其中E是r阶单位矩阵，从而002E A 2PP1 PBP1 2EB2nr3由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使P 1AF B，其中B为对角矩阵，则A2 31 ,对应于1的特征向量PBP1例1设3阶实对称矩阵A的特征值为1 -1,0为P11，求矩阵力1解因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A有三个线性无尖的特征向量,设对应于2 31的特征向量为P怡,它应与特征向量P 1正交X31，即P,匕0Xi4-X2X30,该齐次方程组的基础解系为P20,00P 3 11，它们即是对应于2 31的特征向量。0 10100取 P P 1,P 2,P 3 101 ,B o101 01001则P 1AP B，于是0 1 010001/21/210 0APBP 1 101010 100 00 11 0 1001 01/21/201 04判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似200210201A 1 0 2 0,A2 021 ,A 3020003003003解矩阵A i,A 2,A 3的特征值都是2二重，厂3淇中Ai已是对角阵，所以只需判 断A 2,As是否可对角化先考查A2,,对于特征值i2，解齐次线性方程组2EA 2 X0得其基础1解系为a匸0 ,由于i2是A2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A02不可对角化或者说A 2与A 1不相似。再考查A 3,对于特征值12,解齐次线性方程组2EA 3,X0得基础解系；对于特征值23解齐次线性方程组3EA 3,X0,得基础解系由于A 3,有三个 线性无尖的 特征向量，所以A 3,可对角化，即A 3,与从相似。5求特殊矩阵的特征值例1设A为阶实对称矩阵，且A2 2A,X rA rvn，求1 A的全部特征值;行列式的值。解1设为A的任一特征值，为A的对应于特征值的特征向量，所以A，有 A2 A 2 ，又因为A22A,所以A2A 2 ，所以22，由此可得B202或0,因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即As ，且r Ar B,故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r因为由可得A s B,即存在可逆矩阵C使得C 1AC B，故有A CBC1E A E CBC 1 CEC 1 CBC 1 C E B C 1 E B--1