高三复数专题复习一、复数的概念及运算1、复数的概念 （ 1）虚数单位i ；（2）实部 Rez ，虚部 Im z ；有理数实数 b 0无理数a,b R ；（3）复数的分类 z a bi 纯虚数 a0虚数 b 00非纯虚数 a（4）相等的复数2、复数的加、减、乘、除法则（ 1）加减法具有交换律和结合律；（ 2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（3）除法 abiacbdbcadi c di 0。cdic2d 2c2d 23、复数的共轭与模（1）z Rzz ； z 是纯虚数zz ，反之不成立；（2）复数 za bi 与点 Z a,b 是一一对应关系，另z 与 z 关于 x 轴对称，z 表示 z 对应点与原点的距离。4、复数共轭运算性质 z1 z2 z1 z2 ,z1 z2 z1 z2 ,z1 z2z1z2；5、复数模的运算性质z1z1z20,znz1 z2 z1 zz ,z2z226、复数的模与共轭的练习zz z 。7、重要结论（1）对复数 z 、z1 、z2 和自然数m、n，有zmznzm n ，zm nzmn ，z1z2 nnnz1z22i 1i ，i21 ，i 3i ，i 41；i 4 n 11 ，i 4n 21，i 4n 3i ，i 4n1.31i 22i ，1ii ，1ii .1i1i4设13i，2，2，1nz 。20 ，3n3n，2nn 1n 208.一些几何结论的复数形式1复平面上 Z1，Z,2，Z,3三点共线的充要条件是z2z1R.z3zz2复平面上Z1Z2 Z3为正三角形的充要条件是（有三种形式，它们是等价的）1.z1z2z2z3z3z1 ;2.z12z22z32z1 z2z2 z3z1z3 ;3.2 z1z2z3 0cosi sin .333复平面上Z1Z2Z3的面积为 S表示为 S1 Im z2z1z2z1 .24复平面上 z1,z2 ,z3,z4四点共圆的充要条件是z3z1z3z2R,0 .z1z4z2z4二、复数的三角形式1、复数的三角形式概念任何 1个复数 zabi ,都可以改写成复数的形式z r cosi sin ,其中 ra 2b2 ,cosa ,sinb ;rr2、复数的三角形式的乘法公式设复数 z1r1cosi sin,z2r2 cosi sin则，z1 z2r1 cosi sin r2 cosi sin r1r2 cosi sin即两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。上述结论，可以推广到 有限个复数相乘的情况 ；z1z2 z3znr1 cos1i sin 1r2 cos 2i sin2 r3 cos3i sin 3 rn cos n i sin n r1r2r3rncos 123ni sin123n3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）r cosi sin nr n cos ni sin n 即复数的 n（ nN）次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理称为棣莫佛定理。4、复数的三角形式的除法公式设 z1r1 cosi sin,z2r2cosi sin ;则z1r1 cosi sinr1cosi sin.z2r2 cosi sinr2即两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。三、复数中的方程问题1、实系数一元二次方程的根的情况对方程 ax2bxc0 （其中 a,b,cR 且 a0 ），令b24ac ，当 0 时，方程有两个不相等的实数根。当 0 时，方程有两个相等的实根；当0 时，方程有两个共轭虚根x1bi ,x2bi 。222、复系数一元二次方程根的情况对方程 ax2bxc0,xb的平方根；2a3、一元二次方程的根与系数的关系x1b若方程 ax20 （其中 a,b,cR 且 ax2bxc0 ）的两个根为 x1、x2 ，则a ；cx1x2a四、例题精选例 1已知z2322 3240，求 z ；izi10231 i3 4i22例 2已知 z4，求 z ；23i1例 3设 z 为虚数，z为实数，且12 。z（1）求 z 的值及 z 的实部的取值范围；（2）证明 u1z 为纯虚数；1z例 4已知关于 t 的方程t220a R 有两个根、t2，且满足t1t2 2 3。t at1（1）求方程的两个根以及实数a 的值；（ 2）当 a 0 时，若对于任意xR ，不等式 log a x2ak 22mk2k 对于任意的k 2,1 恒成立，求实数 m 的取值范围。2例5已知复数 z1 满足 1 i z11 5i ,z2 a 2 i ，其中 i 为虚数单位，a R ，若z1z2 z1 ，求 a 的取值范围。例 6设虚数 z 满足 2z 5 z10 。（1）求 z 的值；（2）若 zm 为实数，求实数m 的值；mz（3）若 12i z 在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z 。例 7已知方程 x 2x p 0有两个根 x和 x，pR。12（1）若 x1x23，求实数 p ；（2）若 x1x23 ，求实数 p ；例 8已知复数 zabi a,bR 是方程 x24x50 的根，复数u3i uR 满足 z 2 5 ，求 u 的取值范围。例 9关于 x 的方程 x22a bi x a bi0 有实根，求一个根的模是2，求实数 a,b 的值。2xa402z例 10设两复数 z1 ,z2 满足 z1a z1 z2z2 0 （其中 a0 且 a1 ，xR），求14z2是虚数。（1）求证z1 是定值，求出此定值；z2（2）当 xN 时，求满足条件的虚数z1 的实部的所有项的和。z2例 11设两个复数z1、z2 满足 100z12z22kz1z2 kR ，并且 z2 是虚数，当 kN 时，z1求所以满足条件的虚数z2 的实部之和。z1例 12计算（ 1）2 cosi sin3 cosi sin1212665（2）3 cosi sin55（3）12 cosi sin6 cosi sin3366例 13给定复数z ，在 z ，z,z222 这八个值中，不同值的个数至多是z,z ,z ,z,z ,z___________。例 14已知下列命题（1）z zzR ；（ 2）zzz 为纯虚数；（3）z1z2 0 z1z2 ；（4）z1 z20z1 0或 z2 0 ；（ 5）z12z220z1 z22220 ；（ 6）zz2 zz .其中正确的命题是____________；例 15是否存在复数 z 同时满足条件 1106 ； z 的实部、虚部为整数。若存zz ，若不存在，说明理由。z在，求出复数例 16设 z1 是已知复数，z 为任意复数且 z 1,zz z1 ，则复数对应的点的轨迹是 A、以 z1的对应点为圆心、1 为半径的圆；B、以z1 的对应点为圆心，1 为半径的圆；C、以 1z1的对应点为圆心、1 为半径的圆；22D、以1 z1 的对应点为圆心，1 为半径的圆；22例 17满足方程 zRe z1的复数z 对应的点的轨迹是 。A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线例 18复平面内，满足 z1iz1 i 2 的复数z 所对应的点的轨迹是 A、椭圆B、双曲线C、一条线段D、不存在例 19满足方程 z2 15 z160 的复数 z 对应的点的轨迹是A、四个点B、四条直线C、一个圆D、两个圆例 20设复数z2xa 2 xai ,x、aR ，当 x 在,内变化时，求z 的最小值 g a 。例 21若复数 z1 和 z2 满足 z2 az1i a0 ，且 z2z1 z1 z28 4 2 。
z1 和 z2 在复平面中对应的点为Z1 和 Z2 ，坐标原点为O，且 OZ1OZ2 ，求OZ1Z2 面积的最大值，并指出此时 a 的值。例 22已知复数 z01mi m0,zx yi ,a bi x,y,a,b R ，i 为虚数单位，且对于任意复数 z ，有z0z,2 z。（ 1）试求 m的值，并分别写出a 和 b 用 x、y 表示的关系式；（ 2）将 x,y作为点 P 的坐标，a,b 作为点 Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换它将平面上的点P 变到这一平面上的点 Q，当点 P 在直线 y x 1上移动时，试求点 P 经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（ 3）是否存在这样的直线它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。例23 已 知 复 数 z1 m ni ,z22 2i 和 zxyi ，其 中 m,n,x,y 均 为 实 数 ，且zz1i z2 。（1）若复数 z1 所对应的点 M m,n 在曲线 y1 x3 2 1上运动，求复数 z 所对应的点2P x,y 的轨迹方程；（2）将（ 1）中点 P 的轨迹上每一点沿向量 a 3,1 方向平移，得到新的轨迹C，求 C 的2方程。（3）轨迹 C 上任意一点 A（异于顶点）作其切线l ,l 交 y 轴于点 B。问以 AB 为直径的圆是否恒过 x 轴上一定点若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。例题答案1、7 ；2、1； 3 、（ 1）1Re z1；（ 2）略；5、a1,7 ；6、（ 1）z5 ；（ 2）m5 ；2（3）z10 310 i或 z10310 i ；7、（ 1）p5 或 p2；（ 2）当 0 p1222224时，方程无解； 当 p0 时，p2 ；当 p192,6 ；9、当 b0时，p；8、u44时，a4 或 a4 ；当 b0 时，a1a1b,b。533310、（ 1）axa40a2 xi ，定值 a20；（ 2）a1 时，a 1a19；0a1时，a21；2221a1 a11、95； 12、略； 13、4； 14 、（ 1）（4）； 15、存在、z 13i 或 z3i ；16、D； 17、D； 18、C； 19、C；a22,a2； 21、8，此 时a 1，提 示 由 条 件 得20 、24a2,a22a8421a28 42a22z11 a 1 a2,Sa2 z1 z22 z121 a1 a222，8 4 2 218 4 2 218212221aaaa当且仅当 a1 时等号成立。22、（ 1）m3,xx3y ；（ 2）y23 x2 32 ；（ 3）存在直线 y3 x ，y3xy3y3x ；提示设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为ykxb ，则变换后的直线为3xykx3yb ，即3k x13k y4b0 。它与44ykx b 重合，当 b0 时，方程无解。当b0 时，k3,k3；3