现代数学发展与意义现代数学发展与意义19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现一一非欧几何与 不可交换代数。大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但 也是正确的几何一一非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提 出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天 经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是 20世纪相对论产生的前奏和准备。后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有 着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自 然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献 了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的 领域一一黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入 探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容 性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数一一四 元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算 术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代 数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。
19世纪2030年代，阿贝尔和伽罗华开创了近代代数学的研究。
近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的 解法为中心的。群论之后，多种代数系统（环、域、格、布尔代数、线性空间等）被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学 的解放。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件分析的算 术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们 对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的 著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该 由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天 的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。
欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏 几何是相容的，则几何的多数分支是相容的.。实数系（或某部分）可 以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系 的相容性。事实上，可以说如果实数系是相容的，则现存的全部 数学也是相容的。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基 础己经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数 系（由此导出多种数学）能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪 初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集 合论为基础来讲述。拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个 1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性 的数学研究。科学家们认识到任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都 能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地 应用于电磁学和物理学的研究。20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结 构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究。
许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数 学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般（或抽象）集 合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切20世纪4050年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事,即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。此外还出 现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化。这些情况是现代 科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高 压、高速、高强度、远距离、自动化发展。以长度单位为例、小到 1尘（毫微微米，即10、15米），大到100万秒差距（325.8万光年）。
这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验，越来越多地要依靠 理论计算的指导。其次是科学实验的规模空前扩大，一个大型的实 验，要耗费大量的人力和物力。为了减少浪费和避免盲目性，迫切 需要精确的理论分机和设计。再次是现代科学技术日益趋向定量化,各个科学技术领域，都需要使用数学工具。数学几乎渗透到所有的 科学部门中去，从而形成了许多边缘数学学科，例如生物数学、生 物统计学、数理生物学、数理语言学等等。上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点，可以简单地 归纳为三个方面计算机科学的形成，应用数学出现众多的新分支、纯粹数学有若干重大的突破。1945年，第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应用广 泛、影响巨大，围绕它很自然要形成一门庞大的科学。粗略地说，计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论 研究的一门科学。计算数学可以归入计算机科学之中，但它也可以 算是一门应用数学。计算机的设计与制造的大部分工作，通常是计算机工程或电子工 程的事。软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等。研 究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具。目前电子计算机的应用已达数千种，还有不断增加的趋势。但只有某些特殊应用才归入计算机科学之中,例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图象处理等。应用数学和纯粹数学（或基础理论）从来就没有严格的界限。大体 上说，纯粹数学是数学的这一部分，它暂时不考虑对其它知识领域 或生产实践上的直接应用，它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用; 而应用数学，可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。20世纪40年代以后，涌现出了大量新的应用数学科目，内容的 丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、规 划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清，也有的因为用了很多概率统计的工具，又可以看作概率统计的新应 用或新分支，还有的可以归入计算机科学之中等等。20世纪40年代以后，基础理论也有了飞速的发展，出现许多突 破性的工作，解决了一些带根本性质的问题。在这过程中引入了新 的概念、新的方法，推动了整个数学前进。例如，希尔伯特1990年 在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中，有些问题得到 了解决。60年代以来，还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理 论等新兴的数学分支。此外，近几十年来经典数学也获得了巨大进 展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分 方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。当代数学的研究成果，有了几乎爆炸性的增长。刊载数学论文的 杂志，在17世纪末以前，只有17种（最初的出于1665年）；18世 纪有210种；19世纪有950种。20世纪的统计数字更为增长。在本 世纪初，每年发表的数学论文不过1000篇；到1960年，美国数 学评论发表的论文摘要是7824篇，到1973年为20410篇，1979 年己达52812篇，文献呈指数式增长之势。数学的三大特点一高度 抽象性、应用广泛性、体系严谨性，更加明显地表露出来。今天，差不多每个国家都有自己的数学学会，而且许多国家还有 致力于各种水平的数学教育的团体。它们己经成为推动数学发展的 有力因素之一。目前数学还有加速发展的趋势，这是过去任何一个 时期所不能比拟的。现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但是它 的主要特点可以概括如下（1）数学的对象、内容在深度和广度上都 有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都 发生了惊人的变化，数学的不断分化，不断综合的趋势都在加强。
电子计算机进入数学领域，产生巨大而深远的影响。（3）数学渗 透到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作用，纯粹数学不 断向纵深发展，数理逻辑和数学基础己经成为整个数学大厦基础。