材料力学 -- 简单的超静定问题 答案6-1 试作图示等直杆的轴力图解取消 A 端的多余约束，以 代之，则 （伸长），在外力作 用下杆产生缩短变形。因为固定端不能移动，故变形协调条件为返回6-2图示支架承受荷载 各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为 试求各杆的轴力。解设想在荷载 F 作用下由于各杆的变形，节点 A移至 。此时各杆的变形 及 如图所示。现求它 们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。即.732 2山1 - 2掠3 -码2 亦即的“2二M 一山31 開A/j 呱代入,即15075x100 y/3 x 2003N2 N1 __ 纬 3 亦即；15050100此即补充方程。与上述变形对应的内力耳mb,比如图所示。根据节点力的平 衡条件有即后跖1 2弘2 V3FN3y o.喝纬詰99亦即F朋2F联解1 .2 .3三式得拉）拉）压）6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示 如果荷载 F 作用在 A点，试求这四根支柱各受力多少。解因为 2，4 两根支柱对称，所以，在 F力作用下变形协调条件补充方程求解上述三个方程得6-4 刚性杆 AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和 EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面 积 ，试求两杆的轴力和应力。解 ，（1）联解式（ 1），2），得又由变形几何关系得知故，6-5（6-7）横截面为 250mm 250mm的短木柱，用四根 40mm40mm5mm的等 边角钢加固，并承受压力 F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量 ；木材的许用应力 ，弹性模量。试求短木柱的许可荷载 。解（ 1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件由木柱与角钢间的变形相容条件，有由物理关系式（ 3）代入式（ 2），得4）解得代入式（ 1），得（2）许可载荷由角钢强度条件由木柱强度条件故许可载荷为返回6-6（6-9）图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离 下两段杆的横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量 。试作图示荷载作用下杆的轴力图。已知上、解变形协调条件故故，返回6-76-10 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知 AC段和 BD段的横截面面积 为 A，CD段的横截面面积为 2A；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数-1 。试求当温度升高后，该杆各部分产生的应力。解设轴力为 ，总伸长为零，故6-86-11 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩 。若 ，试求固定端的支反力偶矩 ，并作扭矩图。解解除 B 端多余约束 ，则变形协调条件为故即解得由于故6-96-13一空心圆管 A 套在实心圆杆 B 的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个 角。现在杆 B 上 施加外力偶使杆 B 扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸 除施加在杆 B上的外力偶。试问管 A 和杆 B横截面上的扭矩为多大已知管 A 和杆 B 的极惯性矩分别为；两杆的材料相同，其切变模量为 G。解 解除端约束，则端相对于截面C端扭了一个 角），故变形协调条件为C转了 角，（因为事先将杆 B 的 0故故故连接处截面 C，相对于固定端的扭转角为而连接处截面 C，相对于固定端 I 的扭转角 为应变能返回6-106-15试求图示各超静定梁的支反力。解（a）原梁 AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座 B时，得到可静定求解的基本系统（图 i ）去掉多余约束而代之以反力 ，并根据原来约束条件，令 B 点的挠度，则得图 ii ）。利用 的位移条件，得补充方程到原超静定梁的相当系统由此得由静力平衡，求得支反力 ，为剪力图、弯矩图分别如图（ iii ），（iv ）所示。梁的挠曲线形状如图（ v）所示。这里遵循这样几个原则1）固定端截面挠度，转角均为零；2）铰支座处截面挠度为零；3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。b）解由相当系统（图 ii中的位移条件 ，得补充方程式因此得支反力根据静力平衡，求得支反力 剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（ iii ）、（iv ）、（v）所示（c）解由于结构、荷载对称，因此得支反力；应用相当系统的位移条件 ，得补充方程式注意到 ，于是得剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（ iii ）、（iv ）、（v）所示。其中若 截面的弯矩为零，则有整理或解得 返回6-116-16 荷载 F作用在梁 AB及 CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的 力。已知其跨长比和刚度比分别为解令梁在连接处受力为 ，则梁 AB、CD受力如 图 b所示。梁 AB 截面 B的挠度为梁 CD 截面 C的挠度为由于在铅垂方向截面 B 与 C连成一体，因此有将有关式子代入得变换成即解得每个梁在连接处受力返回EI 为常量6-12 6-18 图示结构中梁 AB和梁 CD的尺寸及材料均相同，已知 试绘出梁 CD的剪力图和弯矩图。即图（b）由对称性，剪力图如图（ c）所示，弯矩图如图（ d）所示，返回6-13（6-21）梁 AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力 。解当去掉梁的 之以反力 和 的相当系统（图 方程如下A 端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图 a）。对去掉的约束代 ，并限定 A 截面的位移。这样得到原结构b）。利用位移条件，，与附录（）得补充式1）由式（ 1）、（ 2）联解，得从静力平衡，进而求得反力 是