第 16 页目 录摘要IIAbstractIII前言1第一章 颗粒物质简介5 1.1 颗粒物质的现状、研究的意义1.2颗粒物质的堆积密度1.3粮仓效应1.4颗粒中力的分布1.5振动引起的颗粒对流和斑图第二章 竖直振动颗粒床中的倍周期运动 2.1 实验装置及内容 2.2 实验结果 2.3 实验分析及探讨.第三章 振动下单颗粒物质的动力学行为.3.1 建立物理模型及理论分析 3.2 数值计算探讨3.3 总结参考文献致谢附录摘 要颗粒物质有这么许多不同于液体和固体的性质，而生产和生活中颗粒物质又很常见，对于颗粒物质人们通过实验和计算机模拟对这些自组织现象进行了广泛的研究，并取得了许多结果；但目前还很难从理论上对振动条件下颗粒体系的各种行为进行解释。为了简化问题,避开大量颗粒频繁碰撞所带来的复杂性，首先只对单个颗粒在振动环境下的动力学行为进行研究。利用完全非弹性的小球与台面碰撞，研究颗粒物质在振动条件下冲击力随约化振动加速度的变化出现的倍周期运动。
关键词颗粒物质、倍周期、完全非弹性碰撞AbstractParticulate matter there are so many different from the nature of the liquid and solid,and particulate matter in production and life are common,for people in particulate matter by experiment and computer simulation carried out extensive research of the self-organized phenomenon,and obtained many results; But it is difficult to theoretically to the various behavior of particles under the condition of vibration system to explain.In order to simplify the problem,to avoid a large number of particle collisions frequently brought about by the complexity,the first only on the dynamics of a single particle in the vibration environment behavior study.Using the completely inelastic ball collisions with mesa,the particulate matter under the condition of vibration impact along with the change of reduced vibration acceleration of periodic motion.KeywordsParticulate matter、Cycle times、Completely inelastic collision第一章颗粒物质简介1.1 颗粒物质的现状、研究的意义颗粒物质指的是粒径在1微米以上的离散体系，分子间作用力不再显著并且在该尺度下不适用于布朗运动。颗粒物质表现出来的复杂的特性及其在工业和环境等领域中的大量存在和应用，使得对颗粒物质的研究成为国际物理学的前沿研究之一。法国科学家De Gennes 1991年在诺贝尔物理学颁奖会上提出了颗粒物质的概念。颗粒物质体系内部的耗散非常剧烈，因而其可以具有很多的亚稳态，可以随意的堆积保持稳定，所以其形状可以有各种各样的。，颗粒物质在自然界、日常生活和生产中都是普遍存在的。例如自然界中的沙石、土壤等；日常生活中的粮食、盐等；生产技术中的煤炭、矿石以及一些药品、化工品也为颗粒物质。除此之外，许多离散态体系如地球板块运动也可以看做颗粒体系来处理。所以说，颗粒物质是地球上最为重要的物质之一。研究颗粒物质是很重要的，从认识自然的角度来说，研究颗粒物质对于许多自然现象和灾害的研究十分重要；从节约能源的角度来看，世界上对于颗粒的积累和运输要消耗全世界总能量的10，所以，研究颗粒物质是很有意义的。颗粒物质是非线性的、离散的复杂系统，具有其独特的性质。目前对于颗粒物质的运动规律和物理本质研究得还不是很深入，即使对于静态颗粒物质也不能给出具体的表述其状态的合适方程。所以，我们只能对颗粒物质给出一般性的描述。颗粒物质之间的相互作用有其独特的性质，不同于分子、原子间的相互作用，颗粒之间的相互作用主要是以摩擦力和碰撞为主，对其组成的单个颗粒本身的物理性质并不太敏感。在振动条件下颗粒物质可以形成斑图、振动子等耗散结构，人们通过实验和计算机模拟对这些自组织现象进行了广泛的研究，并取得了许多结果；但目前还很难从理论上对振动条件下颗粒体系的各种行为进行解释。对颗粒物质的研究已有很长的历史。颗粒物质的一些特性早就被人们所发现，如以前人们利用沙漏计时，就是利用了沙粒从孔中流出的流速不像水流那样随压强而改变的特性。尽管工业上一直以应用为目标对颗粒物质的生产、加工和运输等进行了长时间的研究，但物理学家对颗粒物质感兴趣还是进十多年的事。颗粒物质广泛的存在于人们的生产和生活中。近年来，对于颗粒物质的实验和模拟计算，虽然获得了一些有意义的结果，但我们队颗粒物质的运动规律的认识还是很肤浅，描述颗粒物资的基本理论还未形成，和颗粒物质有关的一些基本问题还困扰着人们。1.2、颗粒物质的堆积密度颗粒物质不同于固体和液体，其堆积密度比固体和液体复杂的多，由于重力和颗粒之间的摩擦力能够使一堆颗粒保持某种形态，这很像固体。然而某些时候一个很小的力会使颗粒堆崩塌，这又很像液体。对于固体和液体来说，当温度和压强确定时，密度是确定的，而对于颗粒物质，由于颗粒的无序分布，其堆积密度不确定，与堆积方式和堆积历史有关。对堆积的颗粒物质施加一定的作用力，颗粒物质的堆积密度会发生改变，其堆积密度会变大也会变小，取决于其初始堆积密度。如果初始堆积密度很大，则对其施加一定的作用力，堆积密度会降低，即体积膨胀，称为雷诺膨胀。这不同于固体和液体，是颗粒物质的独特行为。如果初始堆积密度很小，敲击则会使其堆积密度增大。用图1.1 表示的二维模型来说明这一现象。设颗粒的半径为 ，两水平颗粒的中心距离为 ，两竖直颗粒的中心距离为 ，在此模型中很容易求出4个颗粒中间间隙的面积 。当从上面挤压颗粒，即挤压最上面的那个颗粒时，面积随的变化如图1.1 所示。从图中可以看出，面积存在一个最大值，当颗粒密度较大时，即面积较小时，挤压使颗粒堆积密度变小，即面积变大，如果密度降低到一定程度，挤压可使密度增大。图1.2清楚的表示了雷诺膨胀区和固体区。这一模型很清楚的解释了颗粒物质密度在外力作用下的变化情况。
图1.1 颗粒的加压膨胀特性颗粒的堆积密度是影响颗粒物质性质的重要物理量，堆积密度不仅影响其静态性质，还会影响振动行为和流体性质。2、粮仓效应 在圆筒中装入高度为h的颗粒物质，当h较小时其仓底的压强与h成正比，这与在圆筒中装入液体类似，装入液体是圆筒底部所受压强为gh，e为密度，g为重力加速度。当装入颗粒物质的高度h达到一定高度是，其仓底所受压强随h的增高不发生改变，这被称为粮仓效应。当h达到一定的高度后，这与液体很不一样，看起来上面部分的颗粒重量丢失了，其实这是由于颗粒之间的摩擦力以及颗粒与筒壁之间的摩擦力造成的。由于生活中存在大量的颗粒物质，而颗粒物质这些不同于液体的性质使得我们不得不对颗粒物质进行进一步的研究。3、颗粒中力的分布在地上将一堆苹果以锥形放置，一般会以为正中央底部的那个苹果所受的压力最大，因为其上方放置的苹果最多，所受的压力固然最大。然而，并非如此，通过实验表明，正中央底部那个苹果所受压力比周围同层苹果所受压力要小，因为它正好处于该层压强分布的一个极小值处，这称为压力凹陷。图1.2 压力凹陷示意图Vanel等人研究了锥形和楔形两种不同形状的沙堆底部的压力凹陷情况。不论那种情况，都存在压力凹陷现象，但锥形压力凹陷现象比楔形压力凹陷现象要明显。前者底部中心处的压力值比最大值降低了50，而后者底部中心处的压力值比最大值只降低了15。制备沙堆的方法不同，以及形成不同形状和高度的沙堆，其结果都不相同，这就说明压力凹陷与沙堆形成的历史有很大关系。
对于压力凹陷现象有许多不同的解释。Edwards给出了一种简单的解释，他认为这是由于沙堆内部颗粒的成拱结构把重量分散到沙堆的外围部分引起的。但Bounchaud等指出，这种简单的模型在力学上是不稳定的。提出了基于固定主轴假说的连续近似模型。该模型要求应力张量的主轴总是指向同一方向，并且从沙堆形成时，颗粒就“记住”这一特征。其模型虽然与实验符合的很好，但还是有人提出异议。至今为止，有许多关于颗粒物质力的分布的解释，但尚未获得统一的认识。图1.3 沙堆底部压力随轴向位置的变化从上面的例子可以看出，颗粒中力如何分布，以及力如何传播，这是个复杂的问题。4、振动引起的颗粒对流和斑图根据热力学基本原理，一个封闭体系总会趋于自由能最小的状态。颗粒物质相当于处于kt0的状态，除非受外力作用，系统的结构形态将不变。当外界输入的能量超过颗粒间碰撞耗散的能量时，颗粒就开始运动。最常见的是竖直运动引起的颗粒运动。当振动的频率很小时，颗粒不发生改变，当振动加速度超过一定值时，颗粒就会运动起来。实验表明，颗粒对流和振动成堆主要是颗粒和器壁之间的摩擦引起的。图1.4给出了振动加速度不太大时容器中的颗粒的对流情况示意图。在颗粒与器壁间的摩擦较大时，颗粒从中部向上，，再由器壁向下运动，如图1.4所示。当颗粒与器壁的摩擦较小，即器壁光滑时，颗粒从器壁向上，再由中心向下流动，如图1.4所示。如果在一边光滑，另一半粗糙的筒中做实验，可以得到粗糙的器壁使得颗粒沿器壁向下对流。
对流的方向及对流圈的多少与振动加速度密切相关，与颗粒的性质、形态和颗粒层的厚度等因数有关。当振动加速度超过一定值时，颗粒对流的方向发生翻转，对流数目也会发生改变，从而在表明上看起来形成不同的斑图。
第二章竖直振动颗粒床中的倍周期运动2.1 实验装置及内容姜泽辉等人研究了竖直振动颗粒床中的倍周期运动，他们的实验研究了竖直颗粒床中颗粒堆容器底部的压力随振动强度的变化。图2.1 实验装置简图实验装置如图2.1所示，颗粒装在圆筒玻璃容器中，容器底部为铝合金材料以减少静电效应。在容器和振动台之间为压力传感器，压力传感器记录的是颗粒和容器两者的贡献。压电晶体的形变很小，其对整个系统的影响可忽略。台面只在竖直方向振动，其振动加速度由加速度传感器测量。他们的实验中采用两种尺寸的容器，其内径分别为18.3mm和30.6mm。内径为18.3mm用来装直径D为0.50 0.01mm和1.000.01mm的不锈钢球。另一个内径为30.6mm的容器用来装直径D为0.8mm至1.0mm的陶瓷球。振动的频率均为60Hz，约化振动加速度由1逐渐增大。在增大的过程中，会发现压力信号中除了简谐成分，还有一些脉冲成分。简谐成分来自容器的贡献，脉冲成分来自颗粒对容器底部的冲击。容器和压力传感器是刚性连接的，其对压力的影响只是60Hz的谐波，通过傅里叶滤波技术可以将滤波滤掉。
2.2 实验结果当约化振动加速度稍大于1时，脉冲强度即峰高随逐渐增大，并且脉冲的周期与振动周期相同。当约化振动加速度达到一个临界值时，脉冲信号变成一高一低相间隔，相同高度的脉冲重复周期是振动周期的两倍，即发生了2倍周期分岔。当继续增大时，还会出现4倍周期、接着是混沌、3倍周期分岔、6倍周期分岔、混沌等等。在图2.2中给出了取不同值时，装填的小球的直径D为0.500.01mm的不锈钢小球时的压力随时间的曲线（实线），颗粒床的厚度为16mm，图2.2中虚线为经过快速傅里叶变换滤波后的压力随时间的变化。图中脉冲的宽度反映了脉冲的时间，脉冲的高度反映了冲击强度，频率为60Hz的碰撞时间大约为2ms到4ms。图2.3给出了冲击强度随的变化情况。在图2.3中，为分岔点，n为整数，表示此时的脉冲周期为振动周期的n倍，表示倍周期存在的区域。图中的阴影部分为混沌区，在这个区域的脉冲信号没有重复周期，虽然可以观察到4倍周期、8倍周期等，但都不稳定，很快就会消失，从信号的功率谱上来看，谱线为带状的。
冲击强度的这种倍周期分岔也存在于其他颗粒床中，在内径为30.6mm的容器中加直径为0.8mm到1.0mm的陶瓷球，其第二个混沌区比较宽，而且看不到后面的4倍周期和8倍周期分岔，具体原因还不确定，可能是振动强度不够。表2.1中，表示了几种颗粒床中倍周期分岔的情况。由于有噪声影响，较高阶的分岔点及混沌区的边界难以确定。图2.2 取不同值时冲击力随时间图2.3 颗粒冲击强度的分岔图表2.1不同振动颗粒床中分岔点的理论值与实验值的比较2.3实验分析及探讨 利用单个小球完全非弹性碰撞模型来讨论倍周期分岔。一个完全非弹性的小球置于只在竖直方向振动的台面上，且小球也只在竖直方向上运动。台面的位移其中，假设在 时，小球静止在台面上，当台面的加速度时（向上为正），球受到的支撑力为零，求将脱离台面。如果在时刻小球被抛起，小球再次落到台面上的时刻有下面的式子决定 在时刻，如果满足，小球将会立刻再次起跳，否则将和台面一起振动，等待下一次起跳机会。在下一个振动周期，小球将再次被抛起并重复以前的运动，即会导致倍周期运动的产生。图2.4给出了7.223时，小球的运动情况。小球经历了一个连续跳跃6次的8倍周期运动，第6次碰撞后起跳条件不满足，小球将和台面一起运动。在下一次满足条件时将再次起跳。起跳的置位于第8个振动周期的轨迹与虚线（）的交点处。图2.4 7.223时，正炫振动台面上完全非弹性求的运动情况 小球与台面是完全非弹性碰撞的，碰后两者的速度相同，冲击强度决定小球相对于台面的入射速度。在t时刻，小球相对于台面的的入射速度为由上式可以得出小球每次与台面相碰时的相对速度。图2.5给出了u随不同的取值情况（图中的数据已被绝对值并被约化）。我们发现，倍周期分岔发生在约化速度去整数之处。图2.5中标出了分岔点分别为，，，，，，对应于2，4，6,8,10,12.此时小球的相对碰撞速度有两个分支。另一组临界点为4.60，，，，。在这些位置上小球的两个分支都到零上。分岔点与实验值基本一致。对较高阶的分岔点，实验值稍微高于计算值，这是由于空气阻力及颗粒与器壁的摩擦。颗粒运动速度较大时，空气阻力也会变大。图2.5（b）是第一混沌区的放大图，在第一混沌区还存在周期窗口，其中三个较大的周期窗口为4，5,7。在一些附近特别是在要离开混沌区时，球的周期轨道会变得很密集，连续跳跃的次数也会变多。在刚刚要离开混沌区时，小球会突然进入连续跳跃的倍周期运动，临界值分别为，，，。
图2.5 球相对速度的分岔图 对于振动颗粒床中的颗粒与容器底之间的冲击力的研究表明，这种冲击力为脉冲式的，且冲击强度受约化振动加速度的控制并经历一系列的倍周期分岔。颗粒床下部的颗粒导致颗粒整体上下运动，进而对容器底部产生脉冲式压力。造成倍周期分岔是由于颗粒与容器是完全非弹性碰撞的。利用完全非弹性碰撞模型能较好的解释分岔现象。第三章振动下单颗粒物质的动力学行为3.1 建立物理模型及理论分析 颗粒物质在振动情况下会发生倍周期运动，研究大量的颗粒物质由于其复杂性而难以研究，颗粒床下部的颗粒以一种密集的状态与容器底部发生碰撞，并具有较小的相对位移，所以，可以用单个小球与台面发生完全非弹性碰撞的模型来研究颗粒物质在振动情况下的特性。一个小球自由的落向一振动的台面，小球与台面发生完全非弹性碰撞，假设小球只在竖直方向上运动，而且碰撞对台面的运动不影响（台面的质量远大于小球的质量），且台面也只沿竖直方向运动，其位移为其中。A和f分别为台面的振幅和频率。假设 时刻，小球静止在台面上并随台面一起运动。在 时刻，台面的加速度为 （假设向上为正方向）。此时，小球将脱离台面，从而向上抛起，小球的起跳速度为此时台面的速度 。小球从起跳开始，小球受重力的作用，忽略空气阻力的作用，经过一段时间后，在t时刻小球将再次与台面接触，当t时刻台面的加速度满足时，小球将立刻被弹起，直到下次再与台面碰撞。当t时刻台面的加速度满足时，小球将相对于台面静止，和台面一起运动，直到满足时小球将再次弹起。
假设小球时刻被弹起，时刻与台面再次接触，、满足下面的递推式子 由这一递推关系即可推断出从 时刻开始后的后面的每一时刻。当 时小球将立刻被弹起，直到下一次在与台面碰撞；当时，小球将和台面一起运动，直到满足条件时，小球将被弹起。参考文献1 陆坤权,刘寄星.颗粒物质（上）J.物理,2004,339629-635.2 陆坤权,刘寄星.颗粒物质（下）J.物理,2004,3310713-721.3 Igor S.Aranson.Patterns and collective behavior in granular media Theoretical conceptsJ.Rev.Mod.Phys,2006,782641-692.4 姜泽辉等.竖直振动颗粒床中的倍周期运动J.物理学报,2005,5412.5 姜泽辉等.完全非弹性蹦球的动力学行为J.物理学报,2007,546.6 周志刚等.非弹性蹦球的动力学研究.J.物理学报,2012,6120