数学破题36计第28计 三角开门 八面玲珑计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.典例示范【例1】设a,bR，a22b26，则ab的最小值是 （ ）A.-2 B.C.-3 D.【解答】a22b261.设0，2，则abcossin3cos-，其中cos，sin，ab-3，选C.【点评】本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】已知正数x,y满足3x22y26x，则x2y2的最大值是 .【思考】对于本题，以下解法并不鲜见；由条件y23x-x2.x2y2x2x23xx-32.当且仅当x3时，（x2y2）max .你能发现这种解法有什么毛病吗先检验一下，如x3,会有什么情况发生，将x3代入已知条件，得392y218.2y2-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，准确的解法是y23x-x20，x2-2x0.得x0,2，而x2y2x-32.令zx-32，则当x3时，z为增函数，已求x0,2，故当x2时，zmax 2-32 4，即x2y2max 4.【评注】本题若用三角代换，能够避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得x-12y21.设，则x2y21cos2sin2cos22coscos-22.因为cos-1,1,故当cos1时，x2y2max 4.此时，x2，y0.【例3】设抛物线y24pxp0的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.【解答】抛物线y24px的准线为x -p，交x轴于M-p,0,设过M的直线参数方程为t为参数代入y24pxt2sin2-4ptcos4p20 1方程1有相异二实根的条件是1,设方程1之二根为t1，t2，则t1t2设AB之中点为Qx,y，t.，消去得y22pxp,|cot|1，|y|2p，即所求AB中点的轨迹方程为y22pxp|y|2p.【点评】直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，因为它能减少变量由x,y两个变量减为一个变量t.所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式其中Px0，y0为定点，是直线的倾斜角参数t表示动点Mx,y与定点Px0，y0所连有向线段的数量，若M在P上方则t0，反之t0.【例4】两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于A、C、D、B,且ACDB，过A，B的切线交于E，求证.【思考】本例是平面几何题吗不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然.【解答】作两圆直径AF，BG，连CF，DG，命EABF,EBAG,那么AC2r1sin，BD2r2sin,已知ACBD，2r1sin2r2sin，例4题图,EAB中，由正弦定理.【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米.在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD.A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A、B距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（vu）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方【分析】求的是C、D建的地方，为了将问题简化，暂不考虑车站D，设法求出从A经过C到B所需最短时间.【解答】ACACmtanA,CBAB-ACl-mtanA从A经过C到B所需时间为 例5题图t因为，，为常数，问题转化为求y的最小值.y，令y0,得时，sinA1.sinA时，y0,sinA时，y0.故函数y，从而函数t当sinA时，取得极小值sinA，ACmtanA，即车站C距A为千米，它与l的长短无关.同理，站D距B为千米.【点评】本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.对应训练1已知方程x2xsin2- sincot0之二根为,，求使等比数列1,，前100项之和为零的值.2设实数对x,y满足方程x2y2-2x-2y10，求的最小值.3已知圆的方程是x2y21，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.4ABC中，已知三内角满足关系式y2cos Ccos A-B- cos2C.证明任意交换A、B、C位置y的值不变；（）求y的最大值.5.一条河宽1km，相距4km直线距离的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B.已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元.假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少参考答案1由条件,，即等比数列的公比q2sin，S100.已知S1000，2sin1001且2sin1,于是2sin -1,sin,，,.2圆x-12y-121的圆心为C1,1，半径r1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.如图，表示圆上的点x,y与定点P-1,0连线的斜率,PA，PB为圆C的切线，则，连PC,设BPCAPC，则tan,第2题解图tanBPAtan2,即，从而.3如图所示，有A1,0,B-1,0,方程为x2y21，设Pcos，sin为圆上一点，不妨设P在第一象限，则有Q-cos,sin.|PQ|2cos,RtPAB中PBA,|BQ||PA||AB| sin2sin，l22cos4sin221-2sin24sin5-4sin2,第3题解图当且仅当sin，即60若在四象限则为300时，lmax5，此时点P的坐标为.4y2cos Ccos A-B - cosC2cos Ccos A-Bcos AB22cos Acos Bcos C此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.y2-cos Ccos A-B2 cos2A-B,为求y的最大值必须cosCcos A-B2取得最小而cos2A-B取得最大.cosCcos A-B 20，且cosA-B当且仅当时以上两条同时成立.ymax ，此时故ABC为正三角形.5.解法一如图所示，设OMx km，则AM-x，BM.总修建费S2（-x）42x3-x2（x）22由x,得当x时，S取最小值22，此时，AM3.3，BM1.2.故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时，第5题解图总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法二如图所示，设OBM0arccos，则BM，AMAO-MO-tan，总修建费S2-tan2设t，则sintcos2 sin由及t0，得t，S22将t代入sintcos2，解得 0arccos AM-3.3，BM1.2故Smin 2.