第二章 空间向量与立体几何【学习目标I 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法那么及运算律2掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题3理解空间向量根本定理，掌握空间向量的坐标表示 4会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.EF知识梳理知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线I ,m的方向向量分别为 a,b,平面a,卩的法向量分别为 口，V,贝y线线平行I // m a // b a kb,k R线面平行I // a 面面平行a // B u / V线线垂直I 丄 m线面垂直I 丄 a a //口 a k u ,k R面面垂直a丄B u丄v线线夹角nI,m的夹角为 e 0 e w_2,cos e 线面夹角nI,a 的夹角为e o we 2,sin e 面面夹角na,b 的夹角为 e 0 we,cos e 知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下1 建立适当的空间直角坐标系；2 写出相关点的坐标及向量的坐标；进行相关坐标的运算；4 写出几何意义下的结论.关键点如下1 选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标 易求且简单，简化运算过程.点的坐标、向量的坐标确实定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线 的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题3 几何问题与向量问题的转化 平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转 化也是这类问题解决的关键 题型探究类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥 SABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A B C D的距离都 等于2.给出以下结论 SA SB 鼎 SD- 0 ； SA Sb- Sc- SD- 0 ； SA- Sb Sc- Sd- 0 ； SA- SB Sc- Sd- SA- SC 0.其中正确结论的序号是 .反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法那么、三角形法那么及各运算公式，理解向量运算法那么、运算律及其几何意义跟踪训练1如图，在平行六面体 AiBiCDABCDh,M分AC成的比为夕N分AD成的比为2,类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P ABCDK PDL平面ABCD ABCD是正方形，E是PA的中点，求证1 PC/平面 EBD2 平面PBCL平面PCD反思与感悟1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量2 证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 能够在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量3 证明面面平行的方法 转化为线线平行、线面平行处理 证明这两个平面的法向量是共线向量 证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直5 证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直6 证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练2 在正方体 ABCABCD中，E、F分别是BB、CD的中点，求证平面 AEDL平 面 AFD.类型三利用空间向量求角 例3 如下图，长方体 ABC ABGD中，AB 16,BC 10,AA 8,点E,F分别在 AB,DC上，AE DF 4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形1 在图中画出这个正方形不必说明画法和理由；2 求直线AF与平面a所成角的正弦值反思与感悟用向量法求空间角的注意点1 异面直线所成角两异面直线所成角的范围为o e 90,需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解2 直线与平面所成的角要求直线 a与平面a所成的角e，先求这个平面 a的法向量n 与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn,a，再利用公式sin e |cos n,a |，求e.二面角如图，有两个平面 a与卩，分别作这两个平面的法向量 ni与n2,那么平面a与卩所成的角 跟法向量ni与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3 如图，在几何体 ABCD中，四边形 ABC是矩形，AB丄平面BEC BE EC,ABBE EC 2,G F分别是线段 BE DC的中点1求证GF//平面ADE求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值31当堂训练1.空间四边形 ABCD G是CD的中点，那么 XB *B1 丽 等于a.XG b.CGc.bC d.2BC2.假设a 0,1 ,- 1 ,b 1,1,0，且a入b丄a,那么实数 入的值是A.1 B.0 C.1 D.23.向量 a 4 2m m 1,n 1与 b 4,2 2m,2 2m平行，那么 m.4.平面 a经过点 Q0,0,0，且e 1,1,1是a的一个法向量，Mx,y,z是平面 a内任意一点，那么x，y，z满足的关系式是 .5.空间三点 A 2,0,2 ,B 1,1,2 ,C 3,0,4，设 a KB b AC求向量a与向量b的夹角的余弦值.规律与方法 .解决立体几何中的问题，可用三种方法几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为 工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决 问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.提醒完成作业 第二章章末复习课合案精析知识梳理 知识点一a 丄口 a 口 0 口 kv,k R aXba -b 0I a b|| a 口 |I a|| b||a||口 |1 v1I 口 II v|题型探究例1 跟踪训练1解连接AN 那么祈XN由ABC是平行四边形,故 AC XB At a b,又M分AC成的比为2，故祐一 3AC 3 a b.由，N分AD成的比为2,1 1 故 AN AM DN AD ND AD- -AD - c 2b.33于是 MN MAF AN 1 a b 3 c 2b1 - a b c.例2 证明 如图，以D为坐标原点，分别以 DC DA DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系.a b设 DC a,PD b,那么D0,0,0,C a,0,0 ,Ba ,a,0 ,P0,0 ,b,E0 ,- ,t a b t1 DE 0,2 ,p,DB a ,a,0.设平面EBD的一个法向量为 n x ,y ,z,DE n 0,那么6B- n 0,a b即 2y 2z 0，ax ay 0.a令 x 1，得 n 1 ,- 1,b，因为PC n a,0,- b 1 ,- 1,b 0,所以PCL n,故PC//平面EBD 由题意得平面 PDC勺一个法向量为 弘0 ,a,0,又PE3 a,a,- b ,PC a,0,- b.设平面PBC的一个法向量为 m X1,y1,zj ,PB- m 0,那么PC- m 0,ax1 ay1 bz1 0,即 ax-bz1 0,a得 y10，令 xi 1,那么 Z1 b ,所以 n 1,0 ,H ,b因为 Da- n 0 ,a,0 1,0 ,b 0 ,所以DAL m,即平面 PBCL平面PCD跟踪训练2 证明 如图，建立空间直角坐标系设正方体棱长为1,那么GA./J* I/C .Ti1E1,1 ,2 ,D0,0,1,A1 ,0,0,1 F 0 ,2,0 .DA 1,0,0 D ,DE1T11,1,2 ，df o,2，1 .设m X1,屮,Z1,n X2,y2,Z2分别是平面 AED和AFD的一个法向量,X1 0,m- DA 0,由得1m聲0,X1 y1 芳匸0，令 y1 1，得 m 0,1 ,- 2.n又由nD 0,dF 0,X2 0,得122 Z2令 Z2 1，得 n 0,2,1.m- n 0,1，2 - 0,2,1 0,miln,故平面 AEDL平面 AFD.例3解1交线围成的正方形 EHGF如下图,作 EML AB,垂足为 M 贝U AM AE 4,EM AA 8.因为EHG为正方形，所以 EH EF BC 10.于是 MH EH- ElM 6,所以AH 10.A10,0,0,以D为坐标原点，DA勺方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系,H10,10,0,E10,4,8 ,F0,4,8,FE 10,0,0,Ffe 0 ,6 ,8.设n x ,y ,z是平面EHGF勺法向量，n FE 0,那么n Ffe 0 ,10 x 0 ,即6y 8z 0 ,所以可取n 0,4,3.又AF10,4,8,故 |cosn,鮎鳥器.所以AF与平面EHGI所成角的正弦值为4,515 .跟踪训练3方法一 证明 如图，取AE的中点H,连接HG HD又G是BE的中点，1所以 GH AB 且 GH qAB又F是CD的中点，1所以DF qCD由四边形ABCDI矩形，得 AB// CD A* CD所以 GH/ DF,且 GH DF从而四边形HGFDI平行四边形，所以 GF// DH又DH 平面ADE GF平面ADE所以GF//平面ADE 解 如图，在平面 BEC内 ,过B点作BQ/ EC1 1F-JC因为BEL CE所以BQL BE又因为AEL平面BEC所以AB丄BE AEL BQ以B为原点，分别以BE,BQ BA勺方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，那么 A0,0,2,00,0,0,E2,0,0,F2,2,1.因为ABL平面BEC所以 弘0,0,2为平面BEC勺法向量.设n x ,y ,z为平面AEF的法 向量.又Xe 2,0 ,2 ,XF 2,2 ,1,n AE 0 ,由n AF 0 ,2x 2z 0 ,得2x 2y z 0 ,取 z 2，得 n 2 ,- 1,2.从而|cosn,BA | “ 前|n| | BA233，所以平面 AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值2X3 3为3.方法二 证明 如图，取AB中点M连接MG MF又G是BE的中点，可知GM/ AE又AE 平面ADE GM平面ADE所以GM平面ADE 在矩形ABCDK由M F分别是AB CD的中点，得MF// AD又AD 平面ADE MF平面ADE所以MF/平面ADE 又因为GMT MF M GM平面GMF MF平面GMF所以平面GM/平面ADE 因为GF平面GMF所以GF//平面ADE2同方法一.当堂训练1.A2.D3.1 或 34.x y z 05.解 T a 1,1,0,b 1,0,2,a b 1,1,0 1,0,2 1.又a| M2 12 0 v2 ,| b| ； 12 02 22 _5 ,a b 1V10 cos a ,b- ,，|a|| b|1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为一丄0