百度文库-让每个人平等地提升自我专训1分类思想在等腰三角形中的应用名师点金分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或 结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论，可以使复杂的 问题得到清晰、完整、严密的解答其解题策略为先分类，再画图，后计算.当顶角或底角不确定时，分类讨论1 若等腰三角形中有一个角等于40则这个等腰三角形的顶角度数为 A.40 B.100C.40或 70D.40或 10012 .已知等腰三角形ABC中，AD丄BC于D，且AD qBC，则等腰三角形ABC的底角的度数为A.45 B.75 C.45或 75D .6528当底和腰不确定时，分类讨论3.（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角 形的周长为（）A.8 或 10 B.8 C.10 D .6 或 124.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为.5若x,y满足|x 4| （y 8）2二0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的 周长为.当高的位置不确定时，分类讨论6.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25求这个三角形的各个内 角的度数.【导学号】由腰的垂直平分线引起的分类讨论7.在 ABC中，AB AC,AB边的垂直平分线与 AC所在的直线相交所 得的锐角为40求底角/ B的度数.由腰上的中线引起的分类讨论8.等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,腰上的中线BD把其分为周长 差为3 cm的两部分.求腰长.点的位置不确定引起的分类讨论（第9题）9.如图，在 RtAABC 中，/ ACB 90 AB 2BC，在直线 BC 或 AC 上 取一点P,使得 PAB为等腰三角形，则符合条件的点 P共有（）A.7个 B .6个C.5个D .4个专训2 三角形中的四种常见说理类型名师点金学习了全等三角形及等腰三角形的性质后，与此相关的几何题的类型非常丰 富，常见的类型有说明相等关系，位置关系，线段的和差关系，倍分关系等.说明相等关系1 .如图，在 ABC中，AB AC,D是BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且 AE AF,试说明DE DF.（第1题）说明位置关系题型1说明平行关系2如图，已知 ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边 三角形PCE试说明AE // BC.（第2题）题型2说明垂直关系3.如图，在 ABC 中，AB AC,点 D,E,F 分别在边 BC ,AB ,AC 上,且BD CF,BE CD ,G是EF的中点，试说明DG丄EF.（第3题）说明倍分关系/题型1说明角的倍分关系4.如图，在 ABC中，AB AC,过点B作BD丄AC于点D.猜想/ DBC 与/ A的数量关系，并说明理由.（第4题）题型2说明线段的倍分关系5.如图，在 ABC中，AB AC,AD ,BE是厶ABC的高，AD ,BE相交 于点H，且AE BE，试说明AH 2BD.（第 5 题）说明和、差关系6.如图，在 ABC 中，/ ABC 2/ C,AD 平分/ BAC，试说明AB BD AC.（第6题）/专训3全章热门考点整合应用名师点金本章内容在各类考试及中考中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式 多以选择、填空形式出现，其考查的主要内容有轴对称和轴对称图形的识别及其 性质，最短距离，与翻折有关的计算等，其考点可概括为两个概念，五个性质,两个应用，两种思想.两个概念概念1轴对称1 观察图中的左右两个图形，它们是否成轴对称如果是，请画出 其对称轴.（第1题）概念2轴对称图形2.（2015重庆）下列图形是轴对称图形的是（）五个性质性质1轴对称性质3如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点 F处.若 AFD的周长为24 cm,A ECF的周长为8 cm,求四边形纸片 ABCD 的周长.（第3题）性质2等腰三角形的性质DACAD.（第 4 题）/4.如图，ABC 内有一点 D，且 DA DB DC.若/DAB 20 /30则/ BDC的大小是（）A.100B.80C.70 D.50性质3等边三角形的性质5.如图，已知 ABC和厶BDE均为等边三角形，试说明BD CD二（第5题）性质4线段垂直平分线的性质16.如图，P ABC的边BC垂直平分线上的一点，且/ PBC2/A，BP,CP的延长线分别交 AC ,AB于点D,E.试说明BE CD.（第 6 题）性质5角平分线的性质7.如图，AD ABC的角平分线，DE丄AC于点E,DF丄AB于点F,EF交AD于点M，试说明AD垂直平分EF.（第7题）两个应用应用1线段垂直平分线的应用8.如图，A ,B,C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.（第8题）的两侧，在I上找一点C,使点C到点A，B应用2最短与最长路径的应用9 如图，A ,B两点在直线I 的距离之差最大，并说明理由.两种思想思想1方程思想10.如图，ABC是等腰三角形，AB 人6在厶ABC外部分别作等边三 角形ADB和等边三角形 ACE.若/ DAE /DBC，求 ABC三个内角的度数.（第10题）思想2分类思想11.在等腰三角形 ABC中，/ A比/ B的2倍少50求/ B.专训11.D6解或25设AB AC，BD丄AC于D点；高与底边的夹角为25寸，高一定在厶ABC的内部，如图，因为/ DBC 二 25所以/ C 90 / DBC 90 25 65.所以/ ABC / C 65 / A 180 2X65 50.第6题2当高与另一腰的夹角为25时，如图，高在 ABC的内部时，当/ABD 25时，/ A 90/ABD 65所以/ C / ABC 180 Z A吃0 如图，高在 ABC的外部时，/ ABD 25，所以/ BAD 90 / ABD 90 25 65所以/ BAC 180 65 115/所以/ ABC / C 180 0 115 -2 故三角形各内角的度数为65 65 50或65 ,。或115 ，点拨由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须 进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内和在三角形外.7解此题分两种情况1 如图，AB边的垂直平分线与 AC边交于点D，/ ADE 40,则/A 50.因为 AB AC,所以/ B 180 0- 50 -2 65.2 如图，AB边的垂直平分线与 CA的延长线交于点D，/ ADE 40则/DAE 50所以/ BAC 130.因为 AB AC,所以/ B 180 0- 130 - 25.故/ B的大小为65或25.第7题8.分析由于题目中没有指明是“AB AD -BC CD”为3 cm,还是 BC CD AB AD ”为3 cm,因此必须分两种情况讨论.解因为BD为AC边上的中线，所以AD CD.1 当AB AD BC CD 3 cm 时，AB BC 3 cm,因为 BC 5 cm,所以 AB 5 3 8cm.2 当BC CD AB AD 3 cm 时，BC AB 3 cm,因为 BC 5 cm,所以 AB 5 3 2cm;但是当AB 2 cm时，三边长为2 cm,2 cm,5 cm.而2 2v5,不合题意，舍去故腰长为 8 cm.9.B专训21.解如图，连接AD.因为AB AC,D是BC的中点,所以/ EAD / FAD.又因为 AE AF ,AD AD ,所以 AED AFDSAS.所以DE DF.第 1 题2.解因为 ABC ,PCE均为等边三角形，所以 BC AC ,PC EC,/ ACB / ABC / PCE 60 所以/ ACB-/ACP / PCE-/ ACP,即/ BCP/ ACE.所以 CBPA CAESAS.所以/ CAE / CBP 60所以/ CAE / ACB.所以 AE // BC.3.解如图，连接ED，FD.因为AB AC,所以/ B/ C./BD CF,在厶BDE和厶CFD中，/ B二/ C,/BE CD,所以 BDEA CFDSA .所以DE DF.又因为G是EF的中点，所以DG丄EF.第4题14.解/ DBC p/A.理由如下 方法一因为 AB AC,所以/ ABC / C,1所以/ C -180 -/ A.因为BD丄AC ,所以/ DBC 90 / C190 2180 / A190 90 2/ A方法二如图，过点 A作AE丄BC于点E,则/ EAC / C 90因为AB AC ,1所以/ BAE / EAC 2/BAC.因为 BD 丄 AC,所以/ DBC / C 90/1所以/ DBC / EAC 2/BAC.5.解因为AD ,BE是厶ABC的高，所以/ ADB / AEB 90又因为/ BHD /AHE ,所以/ EBC/ EAH.在厶BCE和厶AHE中，/ EBC / EAH ,BE AE ,/ BEC /AEH 90 所以 BCEA AHEASA.所以BC AH.又因为AB AC ,AD丄BC,所以 BC 2BD.所以 AH 2BD.第6题6.解如图，延长CB至E,使BE BA，则/ BAE Z E.所以/ ABC 180 / ABE / EZ BAE 2/ E.又因为/ ABC 2Z C,所以Z EZ C所以 AE AC.因为AD平分Z BAC，所以Z BAD Z DAC.因为Z BAE Z E,Z E Z C,所以Z BAE Z C.又因为Z EAD Z BAE Z BAD ,Z EDA 180 Z ADC Z CZ DAC ,所以Z EAD Z EDA.所以 AE DE.所以 AC DE BE BD AB BD.专训31 解题图中的左右两个图形成轴对称，题图中的左右两个图形 不成轴对称题图中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示.第1题点拨判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的 定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合.若重合，则两个图形关于这条 直线成轴对称，否则不成轴对称.2.A3.解由题意可知，ABE和厶AFE关于直线AE成轴对称，所以AB AF，BE FE.因为 AFD的周长为24 cm,A ECF的周长为8 cm,即 AD DF AF 24 cm，FC CE FE 8 cm，所以四边形纸片 ABCD的周长为 AD DC BC AB AD DF FC CE BE AB AD DF AF FC CE FE 24 8 32cm.4.A点拨方法一因为DA DB，所以/ DBA / DAB 20.因为 DA DC,所以/ DCA / DAC 30 在厶ABC 中，有/ DBC Z DCB 180 2X 20 2X 30 80.所以/ BDC 180 / DBC Z DCB 180 80 100.方法二在厶ADB 中，由方法 1 可得/ ADB 180 2X 20 18040 140同理/ ADC 180 2X 30 120所以/ BDC 360 140 120 100 故选A.5解因为 ABC ,BDE均为等边三角形，所以 BE BD DE,AB BC ,Z ABC / EBD 60 所以/ ABE Z EBC / DBC Z EBC.所以/ ABE / DBC./AB CB,在厶 ABE 和厶 CBD 中，/ ABE Z CBD ,/BEBD,所以 ABECBDSAS.所以 AE CD.又因为 AD AE ED,ED BD，所以 BD CD AD.第6题6.解如图，在BD上截取BE,使BE CE.因为PG为BC的垂直平分线，所以PB PC.1所以/ PBCZ PCB2/ A ,PE PE.又因为/ BPEZ CPE ,所以 BPEA CPE AS./所以 BE CE ,/ EBPZ E CP.严因为/ CDE 180 -Z ADB / A Z ABP，/ CE D 180 -Z BE C/ E BGZ BCE 2Z PBCZ E CIP Z A Z E CP所以Z CDEZ CE D所以 CD CE 所以 BE CD.（第7题）7.解如图，因为AD为厶ABC的角平分线，DE丄AC,DF丄AB ,所以DE DF.因为/ 1 / 2,Z AFD /AED 90 AD AD ,所以 AFDAED.所以/ 3/4.在厶FDM与厶EDM中，FD ED,/ 3/4,MD MD ,所以 FDMEDM.所以 MF ME ,/ DMF / DME.因为/ DMF /DME 180,所以/ DMF / DME 90所以AD垂直平分EF.（第8题）8.解连接AB ,BC;（2）分别作AB，BC的垂直平分线交于点P,则点P就是所要确定的学校的 位置，如图.点拨三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相 等找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的（第9题）/9解如图，以直线I为对称轴，作点A关于直线I的对称点A ,连接A B 并延长交I于点C，则点C即为所求.理由在直线I上任找一点C异于点C），连接CA，C A C A C B.因为点A，A关于直线I对称，所以I为线段AA的垂直平分线则有CA二CA ,所以 CA CB CA - CB A B.又因为点C在I上，所以C A C A .在厶 A BC中,C A- C BA ,所以 C A- C BCA- CB.10.解因为 ADB和厶ACE都是等边三角形，所以/ DAE / DAB / BAC / CAE 60 Z BAC 60 120 / BAC ,Z DBC 60 Z ABC.又因为Z DAE Z DBC ,所以 120 Z BAC 60 Z ABC ,即Z ABC 60Z BAC.又因为 ABC是等腰三角形，所以Z ABC Z ACB 60Z BAC.设Z BAC x,因为Z BAC 2ZABC 180,则 x 2（x 60）180,解得 x 20.所以Z ACB Z ABC 60Z BAC 60 20 80.所以 ABC三个内角的度数分别为20 80 80.11.解设Z B为x 因为Z A比Z B的2倍少50,所以Z A为2x 50.因为Z A Z B Z C 180,所以Z C 180 （2x 50）-x 230 -3x.当AB AC时（如图），此时有Z BZ C,贝U x 230 3x.解得x.当AB BC时（如图），此时有Z A Z C,则2x 50 230 3x.解得x 56.当AC BC时（如图），此时有Z A Z B,贝U 2x 50 x.解得x 50.综上所述，Z B为。或56或50.点拨本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论.怎样讨 论是解题的重点和难点.本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含 未知数的代数式来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类.（第11题）