均值不等式归纳总结2,21 .1若 a,b R,则 a2 b2 2ab 2若 a,b R,则 ab a b 当且仅当 2a b时取一2 .1若a,b R*,则土上 痴b2若a,b R* ,则a b 2、茄当且仅当a b2时取“”3若 a,b R*,则 ab2里（当且仅当a b时取二”）23 .若x 0,则x - 2 （当且仅当x 1时取“”）x若x 0 ,则x 3x 2 6 值域为G ,s2 （当且仅当x 1时取“”）x若x 0,则x 1 2即x - 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取二”）xxx4.若ab 0,则刍P b a（当且仅当a b时取二”）若ab 0,则ab2即ab2或刍b-2 当且仅当aba ba bab时取“”5.若 a,b R,贝S222.2a b （当且仅当a b时取二”）2ps.（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定 积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例1求下列函数的值域1 y3x* Xj 3 y x1解1y 3x 2 2 A 22X2XX2当 x0 时,当x0时,1 yx -x1 y x -x1x 一 2 x技巧一凑项例已知x 4,解因4x 5oo,2 U2 ,oo求函数y 4x0 ,所以首先要以对4x 2要进行拆、凑项,4x解题技巧，的最大值。4x 5“调整”符号，又4x2.不是常数，所当且仅当54xI-评注本题需要调整项的符号,5 4x 4x 55 4x1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二凑系数 例1.当|口父/4时，求y x8 2x的最大值。U4知，像-2工口，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x 8 2x 8为定值,故只需将y x8 2x凑上一个系数即可。
La当即x 2时取等号 当x 2时，y x8 2x的最大值为8。评注本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。22x 3 2x变式设0 x 3,求函数y 4x3 2x的最大值。0 y 4x3 2x 2 2x3 2x 2当且仅当2x3 2x,即 x;W时等号成立。技巧三分离例3.求y x2 7x 10x 1的值域。
x 1x1的解析一本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有 项，再将其分离。4-0 1 5717X 10 01尸十5十14V 彳 1A 1当心7,即我1口时，y 2 J x 1 -4- 5 9 当且仅当x1时取“”号。
,x 1技巧四换元解析二本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 tx 1,化简原式在分 离求最值。t 12 7t 110 t2 5t 4 ,4 广y t 一 5ttt当卜7,即 tnl 口时，y 2,4 5 9 当 t2 即 x1 时取“”号。评注分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 y mgx -A- B A 0,B 0 ,gx恒正 gx或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数fx x -ax的单调性。2例求函数y -x的值域。x2 4解令 t 4,即b 3,a6时，等号成立。a2b22ab 30 abn2 2 ab令 u ab .yfib 3-J2u222 u-300,1abw18,..yn存-5a 2 u32点评本题考查不等式ab vOb a,b2如何由已知不等式 ab a 2b 30 a,bR的应用、不等式的解法及运算能力;a b与ab之间的关系，由此想到不等式R 出发求得ab的范围，关键是寻找到干 .a,bR，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式1.已知a0,b0,ab ab1,求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x 2y10,求函数 W弧2y的最值.一2 ,2解法一若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，” a-,本题很简单,3X 十四 2 N4 2V2y 2 T 3x 2y 2小解法二条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。VW0,W 3x 2y2a - ；12y 10273X - 2y2y 103x 2 -a12y 2 10 3x 2y20W 便25变式求函数y 42T1 J5F1 X 5的最大值。
22解析注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2 2x 1 、5 2x2 4 2..2x 15 2x 4 2x 1 5 2x 8又y 0,所以0 y 2点当且仅当2x 15 2x,即x 3时取等号。故ymax 2后。2评注本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二利用均值不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证a2 b2 c2 ab bc ca1正数 a,b,c 满足 abc1,求证1 a1 b1 c 8abc111例 6已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求证1 - 1 - 18abc分析不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1 1 3 U淮，可由此变形入手。
a a a a解Qa、b、c R ,a b c 1。1 1j诬。同理1 1也1遍。
a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111 2伍彩静8。当且仅当a b c 1时取等号。a b c a b c3例已知x 0,y应用三均值不等式与恒成立问题1,求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。19,xy9x9y,10 y 9x,用牛令 x y k,x 0,y 0,- 1,L 1 1.1x ykx kyk kx ky1031 2-o k 16 ,m ,16 kk应用四均值定理在比较大小中的应用1 TH1a b、例右 a b 1,P vlga lgb,Q 1g a 1g b,R lg，则 P,Q,R 的大 小关系 22是 .分析 a b 1 1g a 0,1g b 0 1Q 2 1ga Igb Iga Igb pa b 1R 1g lg a ab - lg ab Q RQP22分别看成两个因式